Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Al cambiar un vértice de signo, cambian con él tres caras de signo, es decir, cambian cuatro signos. Por tanto, pueden ocurrir las siguientes situaciones cuando se cambia un vértice de signo:

• los cuatro signos pasan de positivos a negativos, con lo que la suma cambia en $-8$;
• pasan de un negativo y tres positivos a un positivo y tres negativos, con lo que la suma cambia en $-4$;
• pasan de dos positivos y dos negativos a dos positivos y dos negativos, con lo que la suma no cambia;
• pasan de un positivo y tres negativos a un negativo y tres positivos, con lo que la suma cambia en $+4$;
• pasan de todos negativos a todos positivos y la suma cambia en $+8$.

Partiendo de todos los signos positivos (con suma igual a $14$) y cambiando vértices de signo, podemos llegar a cualquier configuración pero los casos anteriores nos dicen que la suma será la original modificada en un múltiplo de $4$, es decir, será 14, 10, 6, 2, $-2$, $-6$, $-10$ ó $-14$.

El valor $-14$ no puede ser puesto que implicaría que todos los números son negativos y no pueden ser simultáneamente negativos los cuatro vértices de una cara y la propia cara. Tampoco puede darse el caso $-10$ ya que habría dos números negativos y $12$ positivos. Los demás casos (14, 10, 6, 2, $-2$, $-6$) sí que pueden ocurrir y dejamos al lector que ponga ejemplos de cada uno de ellos.

Solución. Llamemos $A,B,C,D$ a las cuatro regiones en que el cuadrado queda dividido por las dos rectas, que llamaremos $r$ y $s$, como indica la figura superior. También supondremos que $A$, $B$ y $C$ son las regiones que tienen área $1$. Consideraremos la rotación de $90^\circ$ con centro en el centro $O$ del cuadrado y denotaremos por $A',B',C',D'$ a las regiones rotadas y por $r'$ y $s'$ a las rectas rotadas.

La región rotada $A'\cup B'$ tiene área $2$ y está delimitada por $r'$, mientras que $B\cup C$ está delimitada por $s$ paralela a $r'$ y también tiene área $2$. Para que esto ocurra, debe ser necesariamente $r'=s$ (en caso contrario, $A'\cup B'$ estaría estrictamente contenida en $B\cup C$ o viceversa, luego no podrían tener la misma área). Por un argumento similar, la región $B'$ debe coincidir con $C$ para que ambas tengan área $1$ (si no, $B'$ estaría estrictamente contenida en $C$ o viceversa). Por lo tanto, el punto de intersección de $r$ y $s$ debe ser el centro de rotación $O$. Tenemos así que $A,B,C,D$ son congruentes mediante rotaciones respecto de $O$ y tienen todas área $1$.

Solución. Comenzamos observando que $f(1)=1-f(0)=1$, $f(\frac{1}{3})=\frac{f(1)}{2}=\frac{1}{2}$ y $f(\frac{2}{3})=1-f(\frac{1}{3})=\frac{1}{2}$. Como $f$ es creciente, deducimos que $f(x)$ es constante $\frac{1}{2}$ en el intervalo $[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$. El problema se resolverá si logramos hacer transformaciones para llevar $\frac{18}{1991}$ a este intervalo.

Multiplicamos el numerador por la mayor potencia de $3$ posible para no salirnos del intervalo $[0,1]$ y obtenemos usando la segunda regla que \[f\left(\frac{18}{1991}\right)=\frac{1}{2^4}\cdot f\left(\frac{18\cdot 3^4}{1991}\right)=\frac{1}{16}\cdot f\left(\frac{1458}{1991}\right).\] Como $\frac{1458}{1991}\not\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$, tomamos el número complementario para aplicar la tercera regla: \[f\left(\frac{1458}{1991}\right)=1-f\left(1-\frac{1458}{1991}\right)=1-f\left(\frac{533}{1991}\right).\] Volvemos a multiplicar por la mayor potencia de $3$: \[f\left(\frac{533}{1991}\right)=\frac{1}{2}\cdot f\left(\frac{3\cdot 533}{1991}\right)=\frac{1}{2}\cdot f\left(\frac{1599}{1991}\right).\] Como $\frac{1599}{1991}\not\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$, repetimos de nuevo el proceso: \[f\left(\frac{1599}{1991}\right)=1-f\left(1-\frac{1599}{1991}\right)=1-f\left(\frac{392}{1991}\right)=1-\frac{1}{2}\cdot f\left(\frac{1176}{1991}\right)=\frac{3}{4},\] ya que (ahora sí) $\frac{1176}{1991}\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$. Podemos entonces volver atrás y calcular $f(\frac{533}{1991})=\frac{3}{8}$ y $f(\frac{1458}{1991})=\frac{5}{8}$ y finalmente deducimos que \[f\left(\frac{18}{1991}\right)=\frac{5}{128}.\]

Nota. La función $f$ es la que se conoce como función escalera de Cantor. Una forma de calcular $f(x)$ es expresar $x$ como número decimal en base $3$ hasta llegar al primer decimal igual a $1$, cambiarlo por un $2$ y eliminar todos los que están a su derecha. Ahora todos los decimales son $0$ o $2$, cambiamos los ceros por unos y leemos el número en base $2$.

El procedimiento que se sigue en la solución de multiplicar por la mayor potencia de $3$ sin salirnos del intervalo y luego tomar complementarios, puede probarse que nos lleva a la solución siempre que acabe apareciendo un $1$ en la representación en base $3$ y hace que para tales números $x$, el valor de $f(x)$ sea racional. Los números para los que esto no se aplica son los que se escriben únicamente con $0$ y $2$ en base $3$, números que forman (una homotecia de razón $2$) del conjunto de Cantor (que son los números $x\in[0,1]$ que se escriben únicamente con $0$ y $1$ en base $3$).

Solución. Llamemos $a,b,c,d,e$ a las cifras del número ordenadas de decenas de millar a unidades. En los números de tres cifras formados con $a,b,c,d,e$, cada una de ellas aparece $12$ veces en las centenas, $12$ en las decenas y $12$ en las unidades ya que una vez fijado un dígito en una posición hay $4$ posibles elecciones en otra posición y, para cada una de ellas, $3$ en la última posición. Esto nos dice que la suma de los números de tres cifras distintas que se pueden formar con $a,b,c,d,e$ es igual a \[1200(a+b+c+d+e)+120(a+b+c+d+e)+12(a+b+c+d+e)=1332(a+b+c+d+e),\] donde el primer término (con coeficiente $1200$) viene de la suma de las centenas, el segundo (con coeficiente $120$) viene de las decenas y el último (con coeficiente $12$) de las unidades. Entonces, la condición del enunciado se reescribe equivalentemente como \[1332(a+b+c+d+e)=N=10000a+1000b+100c+10d+e.\qquad (\star)\] Como $1332$ es múltiplo de $9$, deducimos que $N$ es múltiplo de $9$, luego la suma $a+b+c+d+e$ también lo es. Esto nos dice que $N$ es múltiplo de $9\cdot 1332=11988$. Los únicos múltiplos de $11988$ menores que $100000$ que tienen todos sus dígitos distintos son \[\{23976,35964,47952,71928,83916\}\] y de ellos el único que cumple $(\star)$ es $N=35964$, luego esta es la única solución.

Solución. En primer lugar, expresamos \[P(x,y)=2x^2-6xy+5y^2=(x-2y)^2+(x-y)^2.\] De aquí deducimos que todos los valores de $P$ son suma de dos cuadrados. No obstante, cualquier suma de dos cuadrados $u^2+v^2$ es un valor de $P$, sin más que tomar $x=-u+2v$ e $y=-u+v$ en la expresión de arriaba. Esto nos dice que los valores de $P$ son exactamente los números enteros que se expresan como suma de dos cuadrados.

Por inspección directa, los números menores o iguales que 100 que son suma de dos cuadrados son: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100. Estos hacen un total de 43 valores de $P$ entre 1 y 100, lo que responde al apartado (a).

Para responder al apartado (b), veamos ahora que el producto de dos números que se expresan como suma de dos cuadrados vuelve a ser suma de dos cuadrados, pero esto es consecuencia de la siguiente identidad, válida para cualesquiera números $a$, $b$, $c$ y $d$ no necesariamente enteros: \[(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2.\]