Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un triángulo $ABC$, el ángulo $A$ es el doble del ángulo $B$, el ángulo $C$ es obtuso y las tres longitudes de los lados $a,b,c$ son enteros. Determinar razonadamente el mínimo perímetro que puede tener el triángulo.

Para cada conjunto de números $S$ finito y no vacío, denotaremos por $\sigma(S)$ y $\pi(S)$ a la suma y el producto de los elementos de $S$, respectivamente. Demostrar que \[\sum\frac{\sigma(S)}{\pi(S)}=(n^2+2n)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\right)(n+1),\] donde la suma $\Sigma$ indica la suma sobre todos los subconjuntos no vacíos de $\{1,2,3,\ldots,n\}$.

Demostrar que, para cada $n\geq 1$, la sucesión \[2,\ 2^2,\ 2^{2^2},\ 2^{2^{2^2}},\ldots\quad(\text{mod }n)\] es constante a partir de cierto término en adelante.

Nota: la torre de exponentes se define recursivamente como $a_1=2$ y $a_{k+1}=2^{a_k}$ para tod $k\neq 1$. Además, la notación $(\text{mod }n)$ significa que nos quedamos con el resto módulo $n$ de cada elemento $a_k$.

Dados $m$ y $n$ enteros positivos, consideremos el número \[a=\frac{m^{m+1}+n^{n+1}}{m^m+n^n}.\] Demostrar que $a^m+a^n\geq m^m+n^n$.

Nota: puede ser interesante analizar la razón $\frac{a^N-N^N}{a-N}$ para $a\geq 0$ real y $N\geq 1$ entero.

Sea $D$ un punto arbitrario del lado $AB$ de un triángulo $ABC$ y sea $E$ el punto interior del triángulo en el que $CD$ corta a la tangente exterior común a las circunferencias inscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$. Demostrar que al mover $D$ en el segmento $AB$, el punto $E$ describe un arco de circunferencia.