Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tiene un triángulo con lados $a$, $b$ y $c$. Denotemos por $s$ al semiperímetro, es decir, $s = (a+b+c)/2$. Construimos un triángulo con lados $s-a$, $s-b$ y $s-c$. Este proceso se repite hasta que ya no sea posible construir un triángulo con las longitudes de lado dadas. ¿Para qué triángulos originales puede repetirse este proceso indefinidamente?

En un círculo $C$ con centro $O$ y radio $r$, sean $C_1$ y $C_2$ dos círculos con centros $O_1$ y $O_2$ y radios $r_1$ y $r_2$ respectivamente, tales que cada círculo $C_i$ es tangente internamente a $C$ en $A_i$, y además $C_1$, $C_2$ son tangentes externamente en $A$. Demostrar que las tres rectas $OA$, $O_1A_2$ y $O_2A_1$ son concurrentes.

Sea $n$ un entero con $n\gt 3$. Supongamos que elegimos tres números del conjunto $\{1,2,\dots,n\}$. Usando cada uno de estos tres números una sola vez y empleando suma, multiplicación y paréntesis, formamos todas las combinaciones posibles.

1. Demostrar que si elegimos los tres números mayores que $\frac{n}{2}$, entonces los valores de estas combinaciones son todos distintos.
2. Sea $p$ un número primo tal que $p \leq \sqrt{n}$. Demostrar que el número de formas de elegir tres números de manera que el menor sea $p$ y los valores de las combinaciones no sean todos distintos es precisamente el número de divisores positivos de $p-1$.

Determinar todos los pares $(h,s)$ de enteros positivos tales que pueden trazarse $h$ rectas horizontales y otras $s$ rectas que satisfacen

• ninguna de ellas es horizontal,
• no hay dos paralelas entre sí,
• no hay tres concurrentes entre las $h+s$ rectas,

de forma que el número de regiones formadas por estas $h+s$ rectas es $1992$.

Encontrar una sucesión de longitud máxima formada por enteros no nulos en la cual la suma de cualesquiera siete términos consecutivos es positiva y la suma de cualesquiera once términos consecutivos es negativa.