Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar, en función de $n$, la suma de los dígitos del número \[9\times 99\times 9999\times\cdots\times (10^{2^n}-1),\] donde cada factor tiene el doble de dígitos $9$ que el factor precedente.

Demostrar que \[\frac{1}{\cos 0^\circ\cos 1^\circ}+\frac{1}{\cos 1^\circ\cos 2^\circ}+\ldots+\frac{1}{\cos 88^\circ\cos 89^\circ}=\frac{\cos 1\circ}{\mathrm{sen}^2\,1^\circ}.\]

Para cada conjunto finito de enteros $S$ no vacío, denotemos por $\sigma(S)$ la suma de los elementos de $S$. Supongamos que $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_{11}\}$ es un conjunto de $11$ enteros positivos con $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_{11}$ y que, para cada entero positivo $n\leq 1500$ hay un subconjunto $S$ de $A$ para el que $\sigma(S)=n$. ¿Cuál es el menor valor posible de $a_{10}$?

Se tienen cuerdas $AA',BB',CC'$ de una esfera que se cortan en un punto interior $P$ pero no están en un mismo plano. La esfera que pasa por $A,B,C,P$ es tangente a la esfera original en $A',B',C',P$. Demostrar que $AA'=BB'=CC'$.

Sea $P(z)$ un polinomio con coeficientes complejos de grado $1992$ cuyas raíces son todas distintas. Demostrar que existen números complejos $a_1,a_2,\ldots,a_{1992}$ tales que $P(z)$ divide al polinomio \[\Bigl(\Bigl(\cdots\bigl((z-a_1)^2-a_2\bigr)^2\ldots\Bigr)^2-a_{1991}\Bigr)^2-a_{1992}.\]