Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cuyos lados tienen todos la misma longitud y $\angle ABC=60^\circ$. Sea $\ell$ una recta que pasa por $D$ y no corta al cuadrilátero en ningún otro punto. Sean $E$ y $F$ los puntos de intersección de $\ell$ con $AB$ y $BC$, respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de $CE$ y $AF$. Demostrar que $CA^2=CM\cdot CE$.

Hallar el número total de valores enteros distintos que toma la función \[f(x)=\bigl\lfloor x\bigr\rfloor+\bigl\lfloor 2x\bigr\rfloor+\bigl\lfloor\tfrac{5}{3}x\bigr \rfloor+\bigl\lfloor 3x\bigr \rfloor+\bigl\lfloor 4x\bigr\rfloor\] siendo $0\leq x\leq 100$ un número real.

Sean \[\begin{array}{l} f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0\\ g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\ldots+c_0 \end{array}\] dos polinomios no nulos con coeficientes reales y tales que $g(x)=(x+r)f(x)$ para cierto número real $r$. Si $a=\max\{|a_n|,\ldots, |a_0|\}$ y $c=\max\{|c_{n+1}|,\ldots, |c_0|\}$, demostrar que $\frac{a}{c}\leq n+1$.

Sean $P_1,P_2,\ldots,P_{1993}=P_0$ puntos distintos del plano $xy$ satisfaciendo las siguientes propiedades:

1. $P_i$ tiene sus dos coordenadas enteras para todo $i\in\{1,2,\ldots,1993\}$;
2. el segmento $P_iP_{i+1}$ no tiene ningún punto interior con ambas coordenadas enteras para todo $i\in\{0,1,\ldots,1992\}$.

Probar que para algún $0\leq i\leq 1992$ existe un punto $Q=(q_x,q_y)$ en el segmento $P_iP_{i+1}$ tal que $2q_x$ y $2q_y$ son ambos enteros impares.

Sean $P_1,P_2,\ldots,P_{1993}=P_0$ puntos distintos del plano $xy$ satisfaciendo las siguientes propiedades:

1. $P_i$ tiene sus dos coordenadas enteras para todo $i\in\{1,2,\ldots,1993\}$;
2. el segmento $P_iP_{i+1}$ no tiene ningún punto interior con ambas coordenadas enteras para todo $i\in\{0,1,\ldots,1992\}$.

Probar que para algún $0\leq i\leq 1992$ existe un punto $Q=(q_x,q_y)$ en el segmento $P_iP_{i+1}$ tal que $2q_x$ y $2q_y$ son ambos enteros impares.