Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Para cada entero $n\geq 2$, determinar razonadamente cuál de los dos números reales positivos $a$ y $b$ es el mayor sabiendo que verifican \[a^n=a+1,\qquad b^{2n}=b+3a.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan de forma perpendicular en el punto $E$. Demostrar que los puntos simétricos de $E$ respecto de los lados $AB,BC,CD,DA$ son concíclicos.

Consideremos todas las funciones $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ que verifican:

• $f(x)\geq 0$ para todo $x\in[0,1]$,
• $f(1)=1$,
• $f(x)+f(y)\leq f(x+y)$ siempre que $x,y,x+y\in[0,1]$.

Hallar justificadamente la menor constante $c$ tal que $f(x)\leq cx$ para toda función $f$ verificando las condiciones anteriores y para todo $x\in[0,1]$.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos impares. Definimos la sucesión $\{f_n\}$ tomando $f_1=a$ y $f_2=b$ y, para $n\geq 3$, $f_n$ como el mayor divisor impar de $f_{n-1}+f_{n-2}$. Demostrar que $f_n$ es constante a partir de un término en adelante y determinar el valor de dicha constante en función de $a$ y $b$.

Sean $\{a_0,a_1,a_2,\ldots\}$ una sucesión infinita de números reales positivos verificando que $a_{n-1}a_{n+1}\leq a_n^2$ para todo $n\geq 1$ (una sucesión de este tipo se dice que es log-cóncava). Demostrar que, para todo $n\gt 1$ se cumple que \[\frac{a_0+\ldots+a_n}{n+1}\frac{a_1+\ldots+a_{n-1}}{n-1}\geq \frac{a_0+\ldots+a_{n-1}}{n}\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}.\]