Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $k_1\lt k_2\lt k_3\lt\ldots$ enteros positivos entre los cuales no hay dos números consecutivos y sea $s_m=k_1+k_2+\ldots+k_m$ para todo $m\geq 1$. Probar que, para todo entero positivo $n$, el intervalo $[s_n,s_{n+1})$ contiene al menos un cuadrado perfecto.

Cada uno de los $99$ lados de un polígono regular se colorea de forma que los lados consecutivos tienen consecutivamente colores rojo, azul, rojo, azul,..., rojo, azul, amarillo. Se puede modificar el color de los lados del polígono (de uno en uno y usando solamente los tres colores dados) de forma que en cada paso no haya dos lados adyacentes del mismo color. Haciendo este tipo de modificaciones, ¿es posible llegar a que la secuencia de colores sea rojo, azul, rojo, azul,..., rojo, amarillo, azul?

Un hexágono convexo $ABCDEF$ está inscrito en una circunferencia y cumple que $AB=CD=EF$ y que las diagonales $AD,BE,CF$ son concurrentes. Sea $P$ la intersección de $AD$ y $CE$. Demostrar que \[\frac{CP}{PE}=\left(\frac{AC}{CE}\right)^2.\]

Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión infinita de números reales positivos que cumplen que $\sum_{j=1}^na_j\geq\sqrt{n}$ para todo $n\geq 1$. Demostrar que, para todo $n\geq 1$, se tiene que \[\sum_{j=1}^na_j^2\gt\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}\right).\]

Dado un conjunto finito de enteros positivos $U$, denotaremos por $|U|$, $\sigma(U)$ y $\pi(U)$ al número de elementos, la suma y el producto de elementos de $U$, respectivamente. Si $U$ es el conjunto vacío, entonces entendemos que $|U|=0$, $\sigma(U)=0$ y $\pi(U)=1$, como es usual. Dado un conjunto finito de enteros positivos $S$, demostrar que \[\sum_{U\subseteq S}(-1)^{|U|}\binom{m-\sigma(U)}{|S|}=\pi(S)\] para todo entero $m\geq\sigma(S)$.