Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar todas las sucesiones de números reales $a_1, a_2, \dots, a_{1995}$ que cumplen que $$2\sqrt{a_n - (n-1)} \ge a_{n+1} - (n-1), \quad \text{para todo } n = 1, 2, \dots, 1994,$$ y también $$2\sqrt{a_{1995} - 1994} \geq a_1 + 1.$$

Sea $a_1, a_2, \dots, a_n$ una sucesión de enteros con valores entre $2$ y $1995$ verificando las siguientes dos condiciones:

• Cualesquiera dos de los $a_i$ son primos entre sí.
• Cada $a_i$ es o bien un número primo o bien un producto de números primos.

Determinar el menor valor posible de $n$ que garantiza que la sucesión contiene al menos un número primo.

Sea $PQRS$ un cuadrilátero cíclico tal que los segmentos $PQ$ y $RS$ no son paralelos. Consideramos el conjunto de todas las circunferencias que pasan por $P$ y $Q$, y el conjunto de todas las circunferencias que pasan por $R$ y $S$. Determinar el conjunto $A$ de puntos de tangencia de las circunferencias de estos dos conjuntos.

Sea $C$ una circunferencia de radio $R$ y centro $O$, y sea $S$ un punto fijo en el interior de $C$. Sean $AA_0$ y $BB_0$ dos cuerdas perpendiculares que pasan por $S$. Se consideran los rectángulos $SAMB$, $SBN_0A_0$, $SA_0M_0B_0$ y $SB_0NA$. Hallar el conjunto de todos los puntos $M, N_0, M_0, N$ cuando $A$ recorre toda la circunferencia $C$.

Hallar el menor entero positivo $k$ para el que existe una función $f: \mathbb{Z} \to \{1, 2, \dots, k\}$ con la propiedad de que $f(x) \neq f(y)$ siempre que $|x - y| \in \{5,7,12\}$.