Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $p$ un primo impar. La sucesión $\{a_n\}_{n\geq 0}$ se define recursivamente como $a_0=0$, $a_1=1$,..., $a_{p-2}=p-2$ y, para todo $n\geq p-1$, $a_n$ es el menor entero positivo que no forma una progresión aritmética de longitud $p$ con términos precedentes. Demostrar que, para todo $n$, $a_n$ es el número obtenido escribiendo $n$ en base $p-1$ y leyéndolo en base $p$.

Una calculadora se ha estropeado y las únicas teclas que aún funcionan son $\sin,\cos,\tan,\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$ (es decir, las funciones trigonométricas y sus inversas, en radianes). La calculadora inicialmente tiene el valor $0$ en pantalla. Demostrar que, para cualquier racional positivo $q$, existe una secuencia finita de pulsaciones que dan $q$ como resultado.

Se presupone que la calculadora hace las operaciones con precisión infinita.

Sea $ABC$ un triángulo que no es isósceles ni rectángulo. Sean $O$ el circuncentro de $ABC$ y $A_1,B_1,C_1$ los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. El punto $A_2$ se encuentra en la semirrecta $OA_1$ de forma que los triángulos $OAA_1$ y $OA_2A$ son semejantes; de la misma forma, se definen los puntos $B_2$ y $C_2$ en las semirrectas $OB_1$ y $OC_1$, respectivamente. Demostrar que las rectas $AA_2,BB_2,CC_2$ son concurrentes.

Supongamos que $\{q_0,q_1,q_2,\ldots\}$ es una sucesión infinita de enteros que cumplen las siguientes dos condiciones:

1. $m-n$ divide a $q_m-q_n$ para todo $m\gt n\geq 0$,
2. existe un polinomio $P$ tal que $|q_n|\lt P(n)$ para todo $n\geq 0$.

Demostrar que existe un polinomio $Q$ tal que $q_n=Q(n)$ para todo $n\geq 0$.

Supongamos que en cierta sociedad, cada pareja de personas puede clasificarse como amigable u hostil. Diremos que una persona es amiga de otra si la pareja que forman es amigable y enemiga de la otra si forman una pareja hostil. Supongamos que la sociedad tiene $n$ personas y $q$ parejas amigables, y que para cada conjunto de tres personas al menos hay una pareja hostil.

Demostrar que hay al menos un miembro de la sociedad entre cuyos enemigos podemos encontrar a lo sumo $q(1-\frac{4q}{n^2})$ parejas amigables.