Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea \(ABCD\) un cuadrilátero tal que \(AB = BC = CD = DA\). Sean los segmentos \(MN\) y \(PQ\), ambos perpendiculares a la diagonal \(BD\), y tales que la distancia entre ellos es \(d \gt BD/2\), con \(M \in AD\), \(N \in DC\), \(P \in AB\), y \(Q \in BC\). Demostrar que el perímetro del hexágono \(AMNCQP\) no depende de la posición de \(MN\) y \(PQ\) siempre que la distancia entre ellos permanezca constante.

Sean \(m\) y \(n\) enteros positivos tales que \(n \leq m\). Probar que $$2^{n} n! \leq \frac{(m + n)!}{(m - n)!} \leq (m^2 + m)^n.$$

\item Sean \(P_1, P_2, P_3, P_4\) cuatro puntos en una circunferencia, y sea \(I_1\) el incentro del triángulo \(P_2P_3P_4\), \(I_2\) el incentro del triángulo \(P_1P_3P_4\), \(I_3\) el incentro del triángulo \(P_1P_2P_4\) e \(I_4\) el incentro del triángulo \(P_1P_2P_3\). Demostrar que los puntos \(I_1, I_2, I_3, I_4\) son los vértices de un rectángulo.

El Consejo Nacional de Matrimonios desea invitar a \(n\) parejas para formar $17$ grupos de discusión bajo las siguientes condiciones:

• Todos los miembros de un grupo deben ser del mismo sexo; es decir, son todos varones o todas mujeres.
• La diferencia en el tamaño de dos grupos cualesquiera es $0$ o $1$.
• Todos los grupos tienen al menos 1 miembro.
• Cada persona debe pertenecer a un único grupo.

Encontrar razonadamente todos los valores de \(n\) con \(n \le 1996\) para los cuales esto es posible.

Sean \(a, b, c\) las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que $$\sqrt{a + b - c} + \sqrt{b + c - a} + \sqrt{c + a - b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c},$$ y determinar cuándo se da la igualdad.