Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Probar que la media aritmética de los números $n \sin n^\circ$ para $n\in\{2, 4, 6, \dots, 180\}$ es igual a $\cot 1^\circ$.

Sea $S$ un conjunto no vacío de números reales y sea $\sigma(S)$ la suma de los elementos de $S$. Dado un conjunto $A$ de $n$ enteros positivos, consideramos la colección de todas las sumas distintas $\sigma(S)$, donde $S$ recorre los subconjuntos no vacíos de $A$. Demostrar que esta colección de sumas puede ser particionada en $n$ clases de modo que, en cada clase, la razón entre la suma mayor y la menor no exceda 2.

Sea $ABC$ un triángulo en el plano. Probar que existe una recta $\ell$ tal que la intersección del interior del triángulo $ABC$ y el interior de su reflexión $A’B’C’$ respecto a $\ell$ tenga un área mayor que dos tercios del área del triángulo $ABC$.

Sea $a_n$ el número de sucesiones binarias de longitud $n$ (es decir, cuyos términos son $0$ o $1$) que no contienen tres términos consecutivos iguales a $0, 1, 0$ en ese orden. Sea $b_n$ el número de secuencias binarias de longitud $n$ que no contienen cuatro términos consecutivos iguales a $0, 0, 1, 1$ o $1, 1, 0, 0$ en ese orden. Demostrar que $b_{n+1} = 2a_n$ para todo entero positivo $n$.

Sea $ABC$ un triángulo y $M$ un punto de su interior tal que $\angle MAB = 10^\circ$, $\angle MBA = 20^\circ$, $\angle MAC = 40^\circ$ y $\angle MCA = 30^\circ$. Demostrar que el triángulo es isósceles.

Determinar razonadamente si hay un conjunto $X$ de números enteros tal que, para cualquier entero $n$, existe exactamente una solución de $a + 2b = n$ con $a, b \in X$.