Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $$S = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} + \cdots + \frac{1}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{1993006}},$$ donde los denominadores contienen sumas parciales de la sucesión de los recíprocos de los números triangulares (es decir, $k = n(n+1)/2$ para $n = 1,2,\dots,1996$). Demostrar que $S\gt 1001$.

Encontrar un número entero $n$, con $100 \leq n \leq 1997$, tal que $$\frac{2^n+2}{n}$$ también sea un número entero.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en una circunferencia y definamos $$l_a = \frac{m_a}{M_a}, \quad l_b = \frac{m_b}{M_b}, \quad l_c = \frac{m_c}{M_c},$$ donde $m_a, m_b, m_c$ son las longitudes de las bisectrices internas del triángulo y $M_a, M_b, M_c$ son las longitudes de esas bisectrices prolongadas hasta encontrarse con la circunferencia. Probar que $$ \frac{l_a}{\sin^2 A} + \frac{l_b}{\sin^2 B} + \frac{l_c}{\sin^2 C} \geq 3, $$

Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo rectángulo en $A_3$. Se define una sucesión de puntos mediante el siguiente proceso iterativo, donde $n$ es un número entero positivo. Desde $A_n$ ($n \geq 3$), se traza una perpendicular a la recta $A_{n-2}A_{n-1}$, que corta a dicha recta en $A_{n+1}$.

1. Demostrar que, si este proceso se continúa indefinidamente, existe un único punto $P$ que es interior a todos los triángulos $A_{n-2}A_{n-1}A_n$, $n \geq 3$.
2. Sean $A_1$ y $A_3$ puntos fijos. Considerando todas las posibles posiciones de $A_2$ en el plano, hallar el lugar geométrico de $P$.

Supongamos que $n$ personas $A_1, A_2, \dots, A_n$ ($n \geq 3$) están sentadas en círculo y que cada $A_i$ tiene $a_i$ objetos, de manera que $$a_1 + a_2 + \cdots + a_n = nN,$$ donde $N$ es un número entero positivo. Para que cada persona tenga el mismo número de objetos, cada $A_i$ debe dar o recibir cierta cantidad de objetos de sus dos vecinos $A_{i-1}$ y $A_{i+1}$, siendo $A_{n+1}=A_1$ y $A_0=A_n$.¿Cómo debe realizarse esta redistribución para que el número total de objetos transferidos sea mínimo?