Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $p_1, p_2, p_3, \dots$ la lista de números primos en orden creciente y sea $x_0$ un número real entre $0$ y $1$. Para cada entero positivo $k$, se define \[x_k = \begin{cases} 0 & \text{si } x_{k-1} = 0, \\ \left\{ \frac{p_k}{x_{k-1}} \right\} & \text{si } x_{k-1} \neq 0, \end{cases}\] donde $\{x\}=x - \lfloor x \rfloor$ denota la parte fraccionaria de $x$. Hallar razonadamente todos los valores de $x_0$ en el intervalo $(0, 1)$ para los cuales la secuencia $x_0, x_1, x_2, \dots$ es igual a $0$ a partir de un término en adelante.

Sea $ABC$ un triángulo y consideremos triángulos isósceles $BCD$, $CAE$ y $ABF$ exteriores al triángulo $ABC$, con $BC$, $CA$ y $AB$ como sus respectivas bases. Demostrar que las rectas que pasan por $A$, $B$ y $C$ y son perpendiculares a las rectas $EF$, $FD$ y $DE$, respectivamente, son concurrentes.

Probar que, para cualquier entero $n$, existe un único polinomio $Q$ con coeficientes en ${0, 1, \dots, 9}$ tal que $Q(-2) = Q(-5) = n$.

Truncar un $n$-gono convexo significa elegir un par de lados consecutivos $AB$, $BC$ y reemplazarlos por los tres segmentos $AM$, $MN$ y $NC$, donde $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el punto medio de $BC$. Es decir, se corta el triángulo $MBN$ para obtener un $(n+1)$-gono convexo. Un hexágono regular $P_6$ de área $1$ se corta para obtener un heptágono $P_7$. Luego, $P_7$ se corta (de una de las siete maneras posibles) para obtener un octágono $P_8$, y así sucesivamente. Demostrar que, sin importar cómo se realicen los cortes, el área de $P_n$ es siempre mayor que $\frac{1}{3}$ para todo $n \geq 6$.

Demostrar que, para cualesquiera números reales positivos $a$, $b$, $c$, se cumple que \[\frac{1}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{1}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{1}{c^3 + a^3 + abc} \leq \frac{1}{abc}.\]

Supongamos que la sucesión de enteros no negativos $\{a_1, a_2, \dots, a_{1997}\}$ satisface \[a_i + a_j \leq a_{i+j} \leq a_i + a_j + 1\] para todo $i, j \geq 1$ con $i + j \leq 1997$. Probar que existe $k$ tal que $a_k = 0$.