Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $F$ el conjunto de $n$-uplas $(A_1,A_2,\ldots,A_n)$ donde cada $A_i$ es un subconjunto de $\{1,2,\ldots,1998\}$. Hallar el número \[\sum_{(A_1,A_2,\ldots,A_n)\in F}|A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n|,\] donde $|X|$ denota el número de elementos de un conjunto finito $X$.

Demostrar que, dados enteros positivos $a$ y $b$ cualesquiera, el número $(36a+b)(a+36b)$ no puede ser una potencia de $2$.

Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demostrar que \[\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\geq 2\left(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right).\]

Sean $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sean $E$ y $F$ puntos distintos de $D$ y alineados con $D$ de forma que $AE$ es perpendicular a $BE$ y $AF$ es perpendicular a $CF$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $EF$, respectivamente. Demostrar que $AN$ es perpendicular a $NM$.

Hallar el mayor entero $n$ con la propiedad de que $n$ es divisible por todos los enteros positivos menores que $\sqrt[3]{n}$.