Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea el conjunto ${1, 2, \dots, 1998}$ particionado en pares disjuntos ${a_i, b_i}$, donde $1 \leq i \leq 999$, de forma que para cada $i$, $|a_i - b_i|$ es igual a 1 o 6. Demostrar que la suma \[|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + \dots + |a_{999} - b_{999}|\] termina en el dígito $9$.

Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias concéntricas, con $\mathcal{C}_2$ en el interior de $\mathcal{C}_1$. Desde un punto $A$ en $C_1$, se traza la tangente $AB$ a $\mathcal{C}_2$ con $B \in \mathcal{C}_2$. Sea $C$ el segundo punto de intersección de $AB$ con $\mathcal{C}_1$ y sea $D$ el punto medio de $AB$. Una recta que pasa por $A$ corta a $\mathcal{C}_2$ en los puntos $E$ y $F$ de forma que las bisectrices perpendiculares de $DE$ y $CF$ se intersecan en un punto $M$ sobre $AB$. Encontrar justificadamente la razón $\frac{AM}{MC}$.

Sean $a_0, a_1, \dots, a_n$ números del intervalo $(0, \pi/2)$ tales que \[\tan\left(a_0 - \frac{\pi}{4}\right) + \tan\left(a_1 - \frac{\pi}{4}\right) + \dots + \tan\left(a_n - \frac{\pi}{4}\right) \geq n - 1.\] Demostrar que \[\tan a_0 \cdot \tan a_1 \cdot \dots \cdot \tan a_n \geq n^{n+1}.\]

Una pantalla de ordenador muestra un tablero de ajedrez de $98 \times 98$ casillas, coloreado de la forma habitual. Se puede seleccionar con el ratón cualquier rectángulo con lados sobre las líneas del tablero y hacer clic: como resultado, los colores en el rectángulo seleccionado se invierten (el negro se vuelve blanco y el blanco se vuelve negro). Encontrar, con demostración, el número mínimo de clics necesarios para hacer que todo el tablero sea de un solo color.

Sean $a_1, a_2, \dots, a_n$ números enteros positivos tales que \[\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i} \geq 1.\] Demostrar que \[\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i + 1} \geq \frac{1}{2}.\]

Sea $S$ un conjunto de $n$ puntos en el plano tales que cualquier tres puntos de $S$ son están alineados. Se dice que un conjunto de tres puntos de $S$ es un triángulo si ninguno de sus lados contiene a otro punto de $S$. Demostrar que el número máximo de triángulos que se pueden formar con los puntos de $S$ es \[\left\lfloor \frac{n^3}{24} \right\rfloor.\]