Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Vamos a razonar directamente para $n$ personas $P_1,\ldots,P_n$. Está claro que se puede conseguir que todos tengan toda la información con $2(n-1)$ llamadas ya que $P_1,\ldots,P_{n-1}$ pueden llamar a $P_n$ para contarle lo que saben y luego $P_n$ llamar a $P_1,\ldots,P_{n-1}$ para devolverles la información completa.

Para probar que el mínimo es efectivamente $2(n-1)$, pensemos que después de las $n-2$ primeras llamadas nadie puede tener la información completa ya que hay alguien que no ha llamado aún y, por tanto, su información no ha sido compartida. Por otro lado, observamos que no hay dos personas que obtengan la información completa en una misma llamada ya que la transferencia de información es unidireccional. Por tanto, tenemos necesariamente al menos $n$ llamadas adicionales, en cada una de las cuales una persona distinta completa toda la información. Esto hace un mínimo de $(n-2)+n=2(n-1)$ llamadas.

En el caso $n=5$, el número de mínimo de llamadas es $8$.

Solución. La idea que vamos a seguir es que la suma de los $500$ productos sea $m=999$, luego tendremos que producir un número $n$ que sea múltiplo de $9\cdot 111$. Podemos conseguir este número únicamente con unos y doses tomando \[n=1221\,111\,111\ldots 111\,222\,222\ldots 222,\] donde después de $1221$ escribimos $171$ grupos de tres unos consecutivos y $161$ grupos de tres doses consecutivos, lo que hace un total de $515$ unos y $485$ doses en la expresión anterior de $n$, es decir, $n$ tiene exactamente $1000$ dígitos. Observamos que cada grupo de tres dígitos iguales es múltiplo de $111$ y que $1221=11\cdot 111$ también lo es, luego $n$ es múltiplo de $111$ y, más específicamente, \[\frac{n}{111}=11\,001\,001\ldots 001\,002\,002\ldots 002.\] Este último número tiene $173$ unos y $162$ doses, luego la suma de sus dígitos es igual a $173\cdot 1+162\cdot 2=495$, que es múltiplo de $9$. Por lo tanto, $\frac{n}{111}$ es múltiplo de $9$ y hemos probado de esta manera que $n$ es múltiplo de $999$.

Queda por ver que podemos emparejar los dígitos para obtener una suma de productos $m=999$. Para ello, hacemos $457$ parejas $(1,2)$, $29$ parejas $(1,1)$ y $14$ parejas $(2,2)$, lo que nos da \[m=457\cdot 1\cdot 2+29\cdot 1\cdot 1+14\cdot 2\cdot 2=999\] y hemos terminado.

Nota. Aunque los números aparecen sacados de la manga, en realidad sólo hay que hacer ciertos ajustes. Por ejemplo, si suponemos que hay $a$ grupos de tres unos y $b$ grupos de tres doses, tiene que cumplirse que $a+b=332$ y, para que $n$ sea múltiplo de $999$, tiene que ser $a$ múltiplo de $9$. Por otro lado, en los emparejamientos comenzamos poniendo $485$ parejas $(1,2)$ y $15$ parejas $(1,1)$, lo que nos da $m=985$; ahora basta darse cuenta de que cambiar dos parejas $(1,2)$ por una $(1,1)$ y otra $(2,2)$ aumenta $m$ en una unidad, por lo que habrá que hacer $14$ de tales cambios.

Solución. Escribamos $3a-2=m^2$ para cierto entero positivo $m$. De esta definición se deduce fácilmente que $m$ no es múltiplo de $3$ y, como $a$ es impar, se tiene también que $m$ es impar. En otras palabras, $m$ es congruente con $1$ ó con $5$ módulo $6$. El hecho de que $a\gt 17$ se traduce en que $m^2\gt 49$. Consideremos entonces los números \[b=\frac{2(m^2-1)}{3},\qquad c=\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}.\] Es fácil probar que son enteros por ser $m$ congruente con $1$ ó con $5$ módulo $6$, y son positivos por ser $m\gt 49$. Además, \[c-b=\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}-\frac{24(m^2-1)}{36}=\frac{(m^2-49)(m^2-1)}{36}\gt 0,\] lo que nos dice que $b\neq c$. Veamos finalmente que cumplen la propiedad sobre los cuadrados. \begin{align*} a+b&=\frac{m^2+2}{3}+\frac{2(m^2-1)}{3}=m^2,\\ b+c&=\frac{2(m^2-1)}{3}+\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}=\left(\frac{m^2-1}{6}\right)^2,\\ a+c&=\frac{m^2+2}{3}+\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}=\left(\frac{m^2-7}{6}\right)^2,\\ a+b+c&=\frac{m^2+2}{3}+\frac{2(m^2-1)}{3}+\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}=\left(\frac{m^2+5}{6}\right)^2. \end{align*}

Nota. Hemos escrito todos los resultados en función de $m^2$, aunque podríamos haberlo hecho en función de $a$ (el único motivo era que se vea de forma explícita que todas las sumas son cuadrados): \[b=2a-2,\qquad c=\frac{(a-9)(a-1)}{4},\] con lo que \[ a+b=3a-2,\quad b+c=\left(\frac{a-1}{2}\right)^2,\quad a+c=\left(\frac{a-3}{2}\right)^2,\quad a+b+c=\left(\frac{a+1}{2}\right)^2. \]