Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Vamos a razonar directamente para $n$ personas $P_1,\ldots,P_n$. Está claro que se puede conseguir que todos tengan toda la información con $2(n-1)$ llamadas ya que $P_1,\ldots,P_{n-1}$ pueden llamar a $P_n$ para contarle lo que saben y luego $P_n$ llamar a $P_1,\ldots,P_{n-1}$ para devolverles la información completa.

Para probar que el mínimo es efectivamente $2(n-1)$, pensemos que después de las $n-2$ primeras llamadas nadie puede tener la información completa ya que hay alguien que no ha llamado aún y, por tanto, su información no ha sido compartida. Por otro lado, observamos que no hay dos personas que obtengan la información completa en una misma llamada ya que la transferencia de información es unidireccional. Por tanto, tenemos necesariamente al menos $n$ llamadas adicionales, en cada una de las cuales una persona distinta completa toda la información. Esto hace un mínimo de $(n-2)+n=2(n-1)$ llamadas.

En el caso $n=5$, el número de mínimo de llamadas es $8$.

Solución. Escribamos $3a-2=m^2$ para cierto entero positivo $m$. De esta definición se deduce fácilmente que $m$ no es múltiplo de $3$ y, como $a$ es impar, se tiene también que $m$ es impar. En otras palabras, $m$ es congruente con $1$ ó con $5$ módulo $6$. El hecho de que $a\gt 17$ se traduce en que $m^2\gt 49$. Consideremos entonces los números \[b=\frac{2(m^2-1)}{3},\qquad c=\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}.\] Es fácil probar que son enteros por ser $m$ congruente con $1$ ó con $5$ módulo $6$, y son positivos por ser $m\gt 49$. Además, \[c-b=\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}-\frac{24(m^2-1)}{36}=\frac{(m^2-49)(m^2-1)}{36}\gt 0,\] lo que nos dice que $b\neq c$. Veamos finalmente que cumplen la propiedad sobre los cuadrados. \begin{align*} a+b&=\frac{m^2+2}{3}+\frac{2(m^2-1)}{3}=m^2,\\ b+c&=\frac{2(m^2-1)}{3}+\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}=\left(\frac{m^2-1}{6}\right)^2,\\ a+c&=\frac{m^2+2}{3}+\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}=\left(\frac{m^2-7}{6}\right)^2,\\ a+b+c&=\frac{m^2+2}{3}+\frac{2(m^2-1)}{3}+\frac{(m^2-25)(m^2-1)}{36}=\left(\frac{m^2+5}{6}\right)^2. \end{align*}

Nota. Hemos escrito todos los resultados en función de $m^2$, aunque podríamos haberlo hecho en función de $a$ (el único motivo era que se vea de forma explícita que todas las sumas son cuadrados): \[b=2a-2,\qquad c=\frac{(a-9)(a-1)}{4},\] con lo que \[ a+b=3a-2,\quad b+c=\left(\frac{a-1}{2}\right)^2,\quad a+c=\left(\frac{a-3}{2}\right)^2,\quad a+b+c=\left(\frac{a+1}{2}\right)^2. \]