Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Como hay un número impar de jugadores, en uno de los dos arcos de extremos $A$ y $B$ habrá un número par de personas y en el otro un número impar. El primer jugador tiene una estrategia ganadora que consiste en eliminar primero una persona del arco que tiene un número par para dejar los dos con una cantidad impar de personas. A partir de ahí, $A$ sólo tiene que copiar el arco que ha elegido $B$ en su turno. Esto le garantiza que siempre queda un número impar de personas en cada arco tras su jugada; en particular, no quedan cero personas y $B$ no puede ganar en su turno siguiente. El primer jugador que deja un arco con ninguna persona es $B$ y en su siguiente turno $A$ lo elimina.

Solución. Podemos calcular fácilmente los cuatro últimos dígitos de cada factorial (no es necesario hallar el resto de dígitos para este cálculo ya que cada factorial sólo depende los últimos cuatro dígitos del factorial precedente): \begin{align*} 1!&=\ldots 0001,&5!&=\ldots 0120,&9!&=\ldots 2800,&13!&=\ldots 0800,\\ 2!&=\ldots 0002,&6!&=\ldots 0720,&10!&=\ldots 8800,&14!&=\ldots 1200,\\ 3!&=\ldots 0006,&7!&=\ldots 5040,&11!&=\ldots 6800,&15!&=\ldots 8000.\\ 4!&=\ldots 0024,&8!&=\ldots 0320,&12!&=\ldots 1600,&& \end{align*} Observamos entonces que una forma de obtener los cuatro últimos dígitos iguales a $2001$ es tomar $1!+13!+14!$ con $n=3$. No es posible obtener los mismos últimos dígitos con solo dos sumandos ya que necesariamente uno de los dos números tendría que ser $1$ (el único cuyo factorial es impar) y no hay ningún otro en la lista cuyos últimos cuatro dígitos sean $2000$.

Solución. Como tenemos una progresión aritmética, podemos escribir \[p_1=h-3d,\qquad q_1=h-d,\qquad p_2=h+d,\qquad q_2=h+3d.\] para ciertos números reales $a,d\in\mathbb{R}$. Podemos entonces factorizar \[ax^2+bx+c=a(x-p_1)(x-p_2)=ax^2-2a(h-d)x+a(h+d)(h-3d)\] y tenemos también (cambiando $a$ por $c$ y $d$ por $-d$): \[cx^2+bx+a=c(x-q_1)(x-q_2)=cx^2-2c(h+d)x+c(h-d)(h+3d).\] Por lo tanto, identificando coeficientes, obtenemos las ecuaciones \[a(h-d)=c(h+d),\qquad a(h+d)(h-3d)=c,\qquad c(h-d)(h+3d)=a.\] Como $a$ y $c$ no son cero (para que los polinomios tengan dos raíces), tenemos que ninguno de los factores anteriores es cero y podemos despejar \[\frac{a}{c}=\frac{h-d}{h+d}=\frac{1}{(h+d)(h-3d)}=(h-d)(h+3d).\qquad (\star)\] De la igualdad entre el segundo y el tercer miembro en $(\star)$, deducimos que $(h-d)(h-3d)=1$ y de la igualdad entre el segundo y el cuarto término tenemos que $(h+d)(h+3d)=1$. Restando estas dos igualdades obtenemos que $hd=0$. No puede ser $d=0$ ya que el enunciado nos requiere que las raíces de los polinomios sean distintas, luego tenemos que $h=0$. La primera igualdad en $(\star)$ nos dice entonces que $\frac{a}{c}=-1$, es decir, $a+c=0$ como queríamos probar.