Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
III Olimpiada Matemática de Centroamérica y El Caribe — 2001
Sesión 1
Problema 1380
OMCC, 2001-P1
Dos jugadores $A$ y $B$ y otras $2001$ personas forman un círculo, de modo que $A$ y $B$ no quedan en posiciones consecutivas. $A$ y $B$ juegan por turnos alternadamente empezando por $A$. Una jugada consiste en tocar a una de las personas que se encuentran a su lado, la cual debe salir del círculo. Gana el jugador que logre sacar del círculo a su oponente. Demostrar que uno
de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describir dicha estrategia.
pistasolución 1info
Pista. Observa la paridad de personas que quedan en cada uno de los dos arcos de circunferencia de extremos $A$ y $B$.
Solución. Como hay un número impar de jugadores, en uno de los dos arcos de extremos $A$ y $B$ habrá un número par de personas y en el otro un número impar. El primer jugador tiene una estrategia ganadora que consiste en eliminar primero una persona del arco que tiene un número par para dejar los dos con una cantidad impar de personas. A partir de ahí, $A$ sólo tiene que copiar el arco que ha elegido $B$ en su turno. Esto le garantiza que siempre queda un número impar de personas en cada arco tras su jugada; en particular, no quedan cero personas y $B$ no puede ganar en su turno siguiente. El primer jugador que deja un arco con ninguna persona es $B$ y en su siguiente turno $A$ lo elimina.
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Problema 1381
OMCC, 2001-P2
Sea $AB$ un diámetro de una circunferencia $S$ con centro $O$ y de radio $1$. Sean $C$ y $D$ dos puntos tales que $AC$ y $BD$ se cortan en un punto $Q$ situado en el interior de $S$ y $\angle AQD=2\angle COD$. Sea $P$ el punto de corte de las tangentes a $S$ que pasan por los puntos $C$ y $D$. Determinar
la longitud del segmento $OP$.
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Problema 1382
OMCC, 2001-P3
Encontrar todos los cuadrados perfectos $N$ tales que solo dos de los dígitos de $N$ son distintos de cero y uno de ellos es $3$.
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Sesión 2
Problema 1383
OMCC, 2001-P4
Determinar el menor entero positivo $n$ para el cual existan enteros positivos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ menores o iguales que $15$ (no necesariamente distintos) tales que los cuatro últimos dígitos
de la suma $a_1!+a_2!+\ldots+a_n!$ sean $2001$.
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Problema 1384
OMCC, 2001-P5
Sean $a$, $b$ y $c$ números tales que la ecuación $ax^2+bx+c=0$ tiene dos soluciones reales distintas $p_1$ y $p_2$ y la ecuación $cx^2+bx+a=0$ tiene dos soluciones reales distintas $q_1$ y $q_2$. Se sabe que los números $p_1, q_1,p_2,q_2$, en ese orden, forman una progresión aritmética. Demostrar
que $a+c=0$.
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Problema 1385
OMCC, 2001-P6
Se marcan $10000$ puntos sobre una circunferencia y se numeran del $1$ al $10000$ en el sentido de las manecillas del reloj. Se trazan $5000$ segmentos de recta de manera que se cumplan las tres condiciones siguientes:
- Cada segmento une dos de los puntos marcados.
- Cada punto marcado pertenece a uno y solo uno de los segmentos.
- Cada segmento corta exactamente a uno de los segmentos restantes.
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