Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que se colocan los números del $1$ al $n$ como se dice en el enunciado y elijamos una cadena de números pares consecutivos lo más larga posible y que están precedidos y seguidos de un número impar, es decir \[\text{impar}\to\text{par}\to\text{par}\to\ \ldots\ \to\text{par}\to\text{impar}.\] Entonces, está claro que solo puede haber un número par ya que, si hubiera dos o más, el penúltimo tendría que dividir a una suma impar. También está claro que antes del primer impar y después del último debe haber sendos impares ya que un número par debe dividir a una suma necesariamente par. En otras palabras, siempre que encontramos un número par sigue el siguiente esquema: \[\text{impar}\to\text{impar}\to\text{par}\to\text{impar}\to\text{impar}.\] Si $n\geq 3$, entonces hay al menos dos números del $1$ al $n$ pares, luego el esquema anterior nos asegura que el número de impares debe ser al menos dos unidades mayor que el número de pares y esto es imposible. Nos queda el caso $n=3$, en el que sí es posible ya que podemos colocar $1\to 3\to 2$.

Por lo tanto, $n=3$ es la única solución.

Solución. Definamos la sucesión de números $\{x_n\}$ como $x_1=2$ y, para $n\geq 2$, \[x_n=(x_1+x_2+\ldots+x_{n-1})^2+1.\] Vamos a probar que el conjunto $S$ formado por todos los números $x_n$ cumple la condición del enunciado. Para ello, tomemos una cantidad finita de ellos $x_{n_1},x_{n_2},\ldots,x_{n_j}$ y demostremos que $N=x_{n_1}+x_{n_2}+\ldots+x_{n_j}$ no es un cuadrado perfecto. Podemos suponer sin perder generalidad que $0\lt n_1\lt n_2\lt\ldots\lt n_j$, luego llamando $A=x_1+x_2+\ldots+x_{n_j-1}$ tenemos que \[A^2\lt x_{n_j}\leq N\leq x_1+x_2+\ldots+x_{n_j}=A^2+A+1\lt (A+1)^2,\] lo que nos dice que $N$ está estrictamente entre dos cuadrados consecutivos y, por tanto, no puede ser un cuadrado como queríamos probar.

Nota. Uno puede preguntarse cómo se le ocurre la solución. El truco está en caer en la cuenta de que el siguiente cuadrado a $m^2$ es $(m+1)^2=m^2+2m+1$. Por tanto, si todo elemento es de la forma $m^2+1$ y entre todos los que son menores que él no suman $2m$, la sucesión cumplirá el enunciado. La forma en que lo hemos hecho es una entre una infinidad de posibilidades.