Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
XVII Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas — 2002
Sesión 1 — 29 de septiembre de 2002
Problema 480
OIM, 2002-P1
Los números enteros del $1$ al $2002$ se escriben en una pizarra en orden creciente. Luego se borran los que ocupan las posiciones de la forma $3k+1$. Con los números que quedan se vuelve a repetir el proceso una y otra vez hasta que se borran todos los números de la lista. ¿Cuál es el último número que se borra?
pista
Sin soluciones
infoPista. Supongamos que $N$ es el último número en desaparecer. Razona hacia atrás desde el momento en que hemos borrado $N$: ¿qué posición ocupa $N$ en la lista justo antes de borrarse? ¿Y un paso antes? ¿Y otro paso antes?
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Problema 115
OIM, 2002-P2
Dado un conjunto de $9$ puntos en el plano de forma que tres cualesquiera de ellos no están alineados, demuestra que, para cada punto $P$ del conjunto, el número de triángulos que tienen como vértices a tres de los ocho puntos restantes y a $P$ en el interior es par.
pistasolución 1info
Pista. Al mover el punto $P$, ¿qué tiene que ocurrir para que cambie alguno de los triángulos en los que está contenido?
Solución. Tomemos $8$ de los puntos y tracemos todos los segmentos determinados por cada par de esos ocho puntos. Veamos que, pongamos donde pongamos el noveno sin estar alineado con los otros, el número de triángulos con vértices en tres de los ocho puntos que contienen a éste en el interior es par. Para ello, veremos que, moviendo el noveno punto $P$ atravesando cualquiera de los segmentos, la paridad no cambia, lo que demostrará el enunciado ya que, cuando el punto $P$ está en el exterior de la maraña de segmentos, dicho número de triángulos es cero y, por tanto, par.
Supongamos ahora que $P$ atraviesa un solo segmento, de vértices $P_1$ y $P_2$, es decir, pasa de una región de las delimitadas por el segmento $P_1P_2$ a otra contigua. Entonces, respecto de los triángulos que no tienen por vértices a $P_1$ y $P_2$ a la vez, $P$ estará en su interior si, y sólo si, lo estaba antes. Por otro lado, respecto de los triángulos que tienen a $P_1$ y $P_2$ por vértices, habrá $k$ de ellos que tendrán el otro vértice al lado de la recta $P_1P_2$ en que estaba $P$ al principio y $8-k$ que lo tendrán al lado al que ha atravesado. $P$ dejará de estar en el interior de los $k$ primeros triángulos y pasará a estar dentro de los $8-k$ segundos, luego el número cambiará en $8-2k$, que es par y, por tanto, la paridad se conserva.
Nota. El mismo razonamiento se puede hacer para cualquier número impar de puntos, no necesariamente $9$.
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Problema 763
OIM, 2002-P3
Un punto $P$ interior al triángulo equilátero $ABC$ es tal que $\angle APC=120^\circ$. Sean $M$ la intersección de $CP$ con $AB$ y $N$ la intersección de $CP$ con $BC$. Hallar el lugar geométrico del circuncentro del triángulo $MBN$ al variar $P$.
Sin pistas
Sin soluciones
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Sesión 2 — 30 de septiembre de 2002
Problema 764
OIM, 2002-P4
En un triángulo escaleno $ABC$ se traza la bisectriz interior $BD$, con $D$
sobre $AC$. Sean $E$ y $F$, respectivamente, los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ y $C$ hacia la recta $BD$ y $M$ el punto sobre el lado $BC$ tal que $DM$ es perpendicular a $BC$. Demostrar que $\angle EMD=\angle DMF$.
Sin pistas
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Problema 765
OIM, 2002-P5
La sucesión de números reales $\{a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots\}$ se define como
\[a_1=56,\qquad a_{n+1}=a_n-\frac{1}{a_n},\text{ para todo }n\geq 1.\]
Demostrar que existe un número entero $k$, $1\leq k\leq 2002$, tal que $a_k\lt 0$.
Sin pistas
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Problema 766
OIM, 2002-P6
Un policía intenta capturar a un ladrón en un tablero $2001\times 2001$. Cada uno de ellos, por turnos, deben moverse una casilla en uno de los tres siguientes sentidos:
\[\downarrow\text{ (abajo),}\quad \to\text{ (derecha),}\quad \nwarrow \text{(diagonal superior izquierda).}\]
Si el policía se encuentra en la casilla de la esquina inferior derecha, puede usar su jugada para pasar directamente a la casilla de la esquina superior izquierda (el ladrón no puede hacer esta jugada). Inicialmente, el policía está en la casilla central y el ladrón está en la casilla vecina diagonal superior derecha al policía. El policía comienza el juego. Demostrar las siguientes afirmaciones:
- El ladrón consigue moverse por lo menos $10000$ veces sin ser capturado.
- El policía posee una estrategia para capturar al ladrón.
Nota. El policía captura al ladrón cuando entra en la casilla en la que está el ladrón. Si el ladrón entra en la casilla del policía, no se produce captura.
Sin pistas
Sin soluciones
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