Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dos jugadores $A$ y $B$ juegan por turnos el siguiente juego. Se tiene un montón de 2003 piedras. En su primer turno, $A$ escoge un divisor de $2003$ y retira ese número de piedras del montón inicial. Posteriormente, $B$ escoge un divisor del número de piedras restantes y retira ese número de piedras del nuevo montón, y siguen así sucesivamente. Pierde el jugador que retire la última piedra. Demostrar que uno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describir dicha estrategia.

Sea $S$ una circunferencia y $AB$ un diámetro de ella. Sea $t$ la recta tangente a $S$ en $B$ y sean $C$ y $D$ dos puntos en $t$ tales que $B$ está entre $C$ y $D$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de $S$ con $AC$ y $AD$, respectivamente, y sean $G$ y $H$ las intersecciones de $S$ con $CF$ y $DE$, respectivamente. Demostrar que $AH=AG$.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos con $a\gt 1$ y $b\gt 2$. Demostrar que \[a^b+1\geq b(a+1)\] y determinar cuándo se tiene la igualdad.

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias que se cortan en dos puntos distintos $P$ y $Q$. Sean $l_1$ y $l_2$ dos rectas paralelas tales que:

• $l_1$ pasa por el punto $P$ y corta a $S_1$ en un punto $A_1$ distinto de $P$ y a $S_2$ en un punto $A_2$ distinto de $P$.
• $l_2$ pasa por el punto $Q$ y corta a $S_1$ en un punto $B_1$ distinto de $Q$ y a $S_2$ en un punto $B_2$ distinto de $Q$.

Demostrar que los triángulos $A_1QA_2$ y $B_1PB_2$ tienen igual perımetro.

Un tablero cuadrado de $8$cm de lado se divide en $64$ casillas cuadradas de $1$cm de lado cada una. Cada casilla se puede pintar de blanco o de negro. Encontrar el número total de maneras de colorear el tablero de modo tal que cada cuadrado de $2$cm de lado formado por cuatro casillas con un vértice común contenga dos casillas blancas y dos negras.

Diremos que un entero positivo es tico si la suma de sus dígitos (en base 10) es múltiplo de 2003.

1. Demostrar que existe un entero positivo $N$ tal que sus primeros 2003 múltiplos $N,2N,\ldots, 2003N$ son todos ticos.
2. ¿Existe algún entero positivo $N$ tal que todos sus multiplos sean ticos?