Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se ordenan de menor a mayor los enteros positivos que pueden expresarse como suma de $2005$ enteros consecutivos, no necesariamente positivos. ¿Cuál ocupa la posición $2005$?

Demostrar que la ecuación \[a^2b^2+b^2c^2+3b^2-a^2-c^2=2005\] no tiene soluciones enteras.

En el triángulo $ABC$, sean $P$, $Q$ y $R$ los puntos de tangencia del incírculo en los lados $AB$, $BC$ y $AC$, respectivamente. Sean $L$, $M$ y $N$ los pies de las alturas del triángulo $PQR$ en $PQ$, $QR$ y $PR$, respectivamente.

1. Demostrar que las rectas $AN$, $BL$ y $CM$ se cortan en el mismo punto.
2. Demostrar que este punto común está en la recta que pasa por el ortocentro y el circuncentro del triángulo $PQR$.

Dos jugadores llamados Azul y Rojo juegan por turnos en un tablero de $10\times 10$. Azul tiene una lata de pintura azul y Rojo una de pintura roja. Comenzando por Azul, cada jugador en su turno elige una fila o columna del tablero que no haya sido escogida anteriormente por ninguno de los dos y pinta sus 10 casillas con su propio color. Si alguna(s) de esas casillas ya estuviese pintada, el nuevo color cubre al anterior. Después de 20 turnos, al agotarse las filas y columnas disponibles, el juego finaliza. Entonces se cuenta la cantidad de casillas de cada color y se determina el ganador de acuerdo a la siguiente regla: Si la cantidad de casillas rojas supera en diez o más a la cantidad de casillas azules, entonces gana Rojo; de lo contrario gana Azul. Determinar si alguno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y explicar cuál es la estrategia.

En un triángulo acutángulo $ABC$, sean $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio de lado $AC$. Por $M$ se traza una recta $\ell$ paralela a la bisectriz del ángulo $\angle AHC$. Demostrar que la recta $\ell$ divide al triángulo $ABC$ en dos partes que tienen el mismo perímetro.

Se tienen $n$ cartas numeradas de $1$ a $n$ y $p$ cajas para guardarlas, siendo $p$ un número primo. Determinar los posibles valores de $n$ para los que se pueden guardar todas las cartas de forma que la suma de las cartas en cada caja sea la misma.