Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Para cada entero $d$, definimos el número \[S_d=1+d+d^2+\ldots+d^{2006}.\] Hallar el último dígito de $S_0+S_1+S_2+\ldots+S_9$.

Sean $\Gamma$ y $\Gamma'$ dos circunferencias congruentes con centros $O$ y $O'$, respectivamente, y sea $A$ uno de sus puntos de interesección. Sean $B$ un punto de $\Gamma$, $C$ el segundo punto de intersección de $AB$ y $\Gamma'$ y $D$ un punto de $\Gamma'$ tal que $OBDO'$ es un paralelogramo. Demostrar que la longitud de $CD$ no depende de la posición de $B$.

Para cada entero positivo $n$ definimos \[f(n)=\Bigl\lfloor n+\sqrt{n}+\tfrac{1}{2}\Bigr\rfloor.\] Demostrar que, para cada entero positivo $k$, la ecuación $f(f(n))-f(n)=k$ tiene exactamente $2k-1$ soluciones.

El producto de varios enteros positivos distintos es divisible por $2006^2$. Determinar el valor mínimo que puede tomar la suma de tales enteros.

El país Olimpia está formado por $n$ islas, todas ellas con un número distinto de habitantes y siendo la más poblada Panacentro. Queremos construir puentes entre estas islas que puedan recorrerse en ambas direcciones y con las siguientes condiciones:

• Ningún par de islas está unida por más de un puente.
• Usando los puentes podemos alcanzar cualquier isla desde Panacentro.
• Si queremos viajar desde Panacentro a cualquier otra isla de forma que usamos cada puente a lo sumo una vez, el número de habitantes de las islas que visitamos es estrictamente creciente.

Hallar el número de formas en que podemos construir los puentes.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $I$ el punto de intersección de sus diagonales. Se tienen además puntos $E,H,F,G$ en $AB,BC,CD,DA$, respectivamente, tales que $EF$ y $GH$ se cortan también en $I$. Si $M$ es la intersección de $EG$ y $AC$ y $N$ es la intersección de $HF$ y $AC$, demostrar que \[\frac{AM}{IM}\cdot\frac{IN}{CN}=\frac{IA}{IC}.\]