Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

La OMCC es una competición anual de matemáticas. En el año 2007 se lleva a cabo la novena olimpiada. ¿Para qué enteros positivos $n$ se cumple que $n$ divide al año en que se realiza la $n$-ésima olimpiada?

Sea $ABC$ un triángulo y sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que las rectas $BD$, $CE$ y la bisectriz que parte de $A$ concurren en un punto $P$ interior al triángulo. Demostrar que hay una circunferencia tangente a los cuatro lados del cuadrilátero $ADPE$ si y sólo si $AB = AC$.

Sea $S$ un conjunto finito de números enteros. Supongamos que para cualquier par de elementos $p,q\in S$, con $p\neq q$, hay elementos $a, b, c\in S$, no necesariamente diferentes entre sí, con $a\neq 0$, de manera que el polinomio $F(x)=ax^2+bx+c$ cumple que $F(p)=F(q)=0$. Determinar el máximo número de elementos que puede tener el conjunto $S$.

Los habitantes de cierta isla hablan un idioma en el cual todas las palabras se pueden escribir con las letras $a, b, c, d, e, f, g$. Se dice que una palabra produce a otra si se puede llegar de la primera a la segunda aplicando una o más veces cualquiera de las siguientes reglas:

• Cambiar una letra por dos letras de acuerdo a las siguientes reglas: \begin{align*} a&\to bc,& b&\to cd,& c&\to de,& d& \to ef,\\ e&\to fg,& f&\to ga,& g& \to ab.& \end{align*}
• Dos letras iguales rodeando a otra se pueden quitar; por ejemplo, $dfd\to f$.

Demostrar que en esta isla toda palabra produce a cualquier otra palabra.

Dados dos números enteros no negativos $m$ y $n$, con $m\gt n$, se dirá que $m$ termina en $n$ si es posible borrar algunos dígitos de izquierda a derecha de $m$ para obtener $n$ (por ejemplo, $329$ termina en $9$ y en $29$ únicamente). Determine cuántos números de tres dígitos terminan en el producto de sus dígitos.

Desde un punto $P$ exterior a una circunferencia $S$ se trazan tangentes que la tocan en $A$ y $B$. Sea $M$ el punto medio de $AB$. La mediatriz de $AM$ corta a $S$ en el punto $C$ interior al triángulo $ABP$, la recta $AC$ corta a la recta $PM$ en $G$ y la recta $PM$ corta a $S$ en el punto $D$ exterior al triángulo $ABP$. Si $BD$ es paralelo a $AC$, demostrar que $G$ es el punto donde concurren las medianas del triángulo $ABP$.