Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dado un entero positivo $m$, se define la sucesión $\{a_n\}$ como \[a_1=\frac{m}{2},\qquad a_{n+1}=a_n\lceil a_n\rceil, \text{si }n\geq 1.\] Hallar todos los valores de $m$ para los que $a_{2007}$ es el primer entero que aparece en la sucesión.

Nota. $\lceil x\rceil$ denota el menor entero mayor o igual que $x$.

Sean $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y $\Gamma$ una circunferencia de centro $I$, de radio mayor al de la circunferencia inscrita y que no pasa por ninguno de los vértices. Sean $X_1$ la intersección de $\Gamma$ con la recta $AB$ más cercano a $B$; $X_2$ y $X_3$ los puntos de intersección de $\Gamma$ con la recta $BC$, siendo $X_2$ más cercano a $B$; y $X_4$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $CA$ más cercano a $C$. Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $X_1X_2$ y $X_3X_4$. Demostrar que $AK$ corta a $X_2X_3$ en su punto medio.

Dos equipos $A$ y $B$ disputan el territorio delimitado por una circunferencia. $A$ tiene $n$ banderas azules y $B$ tiene $n$ banderas blancas ($n\geq 2$ fijo). Juegan alternadamente y $A$ comienza el juego. Cada equipo, en su turno, coloca una de sus banderas en un punto de la circunferencia que no se haya usado en una jugada anterior. Cada bandera, una vez colocada, no se puede cambiar de lugar. Una vez colocadas las $2n$ banderas, se reparte el territorio entre los dos equipos. Un punto es del equipo $A$ si la bandera más próxima a él es azul y es del equipo $B$ si la bandera más próxima a él es blanca. Si la bandera azul más próxima a un punto está a la misma distancia que la bandera blanca más próxima, entonces el punto no es ni de $A$ ni de $B$. Un equipo gana si sus puntos cubren un área mayor que el área cubierta por los puntos del otro equipo. Hay empate si ambas áreas son iguales. Demostrar que, para todo valor de $n$, el equipo $B$ tiene una estrategia para ganar el juego.

En un tablero cuadriculado de tamaño $19\times 19$, una ficha llamada dragón da saltos de la siguiente manera: se desplaza $4$ casillas en una dirección paralela a uno de los lados del tablero y $1$ casilla en la dirección perpendicular. Se sabe, además, que con este tipo de saltos, puede moverse de cualquier casilla a cualquier otra. La distancia dragoniana entre dos casillas es el menor número de saltos que el dragón debe dar para moverse de una casilla a otra. Sea $C$ una casilla situada en una esquina del tablero y $V$ la casilla vecina a $C$ que la toca en un único punto. Demostrar que existe alguna casilla $X$ tal que la distancia dragoniana de $C$ a $X$ es mayor que la distancia dragoniana de $C$ a $V$.

Un número natural $n$ es atrevido si el conjunto de sus divisores, incluyendo al $1$ y al $n$, se puede dividir en tres subconjuntos tales que la suma de los elementos de cada subconjunto es la misma. ¿Cuál es la menor cantidad de divisores que puede tener un número atrevido?

Sea $F$ la familia de todos los hexágonos convexos $H$ que satsifacen las siguientes condiciones:

1. los lados opuestos de $H$ son paralelos,
2. tres vértices cualesquiera de $H$ se pueden cubrir con una franja de ancho $1$.

Determinar el menor número real $\ell$ tal que cada uno de los hexágonos de la familia $F$ se puede cubrir con una franja de ancho $\ell$.

Nota: una franja de ancho $\ell$ es la región del plano comprendida entre dos rectas paralelas que están a distancia $\ell$ (incluídas ambas rectas).