Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar el menor entero positivo $N$ tal que la suma de sus dígitos es $100$ y la suma de los dígitos de $2N$ es $110$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo inscrito en una circunferencia de centro $O$ y tal que $AC$ es un diámetro de la circunferencia. Se construyen paralelogramos $DAOE$ y $BCOF$. Demostrar que si $E$ y $F$ están en la circunferencia, entonces $ABCD$ es un rectángulo.

Hay $2008$ bolsas numeradas con los enteros del $1$ al $2008$ y en cada una de ellas hay $2008$ ranas. Dos personas juegan por turnos y, cada una de ellas, en su turno selecciona una bolsa y sacar de ella un número positivo de ranas dejando $x\geq 0$ ranas en la bolsa. Después de cada jugada, en cada bolsa con un número mayor que la seleccionada que tenga más de $x$ ranas, algunas ranas se escapan hasta quedar exactamente $x$ ranas en la bolsa. Quien se lleva la última rana de la bolsa con el número $1$ pierde. Encontrar una estrategia ganadora para una de las dos personas.

Cinco niñas tienen una pequeña tienda que abre de lunes a viernes. Como solo se necesitan dos personas al mismo tiempo para cuidar la tienda, deciden hacer un plan de trabajo para la semana en el que se especifica quién trabajará cada día. El plan debe cumplir las siguientes condiciones:

1. Cada una de las niñas trabajará exactamente $2$ días a la semana.
2. Las cinco parejas asignadas para los cinco días de la semana deben ser distintas.

¿De cuántas formas pueden hacer las niñas el plan de trabajo?

Encontrar un polinomio $p(x)$ con coeficientes reales tal que \[(x+10)p(2x)=(8x-32)p(x+6)\] para todo número real $x$ y $p(1)=210$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Consideremos dos puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $BPQC$ es un cuadrilátero cíclico. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABQ$ corta a $BC$ en $B$ y en otro punto $R$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $APC$ corta a $BC$ en $C$ y en otro punto $S$. Las rectas $PR$ y $QS$ se cortan en el punto $L$. Demostrar que la intersección de $AL$ y $BC$ no depende de la elección de $P$ y $Q$.