Olimpiadas de Matemáticas
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X Olimpiada Matemática de Centroamérica y El Caribe — 2008
Sesión 1
Problema 2081
OMCC, 2008-P1
Encontrar el menor entero positivo $N$ tal que la suma de sus dígitos es $100$ y la suma de los dígitos de $2N$ es $110$.
pistasolución 1info
Pista. Encuentra una relación entre la suma de los dígitos de $2N$ y la suma de los dígitos de $N$ en función de las cifras de $N$.
Solución. En la siguiente tabla, reflejamos cada dígito posible de $N$ y el efecto que tiene en la suma de los dígitos de $2N$ respecto de la suma de los dígitos de $N$:
\[\begin{bmatrix}0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\0&+1&+2&+3&+4&-4&-3&-2&-1&0\end{bmatrix}\]
Por ejemplo, si $N$ tiene un dígito $4$, entonces se convierte en $8$ en $2N$ y añade $+4$ a la suma de los dígitos; por el contrario, si $N$ tiene un dígito $8$, entonces se convierte en $6$ y nos llevamos $1$, luego resta $1$ a la suma de los dígitos de $2N$ respecto de la de $N$.
Ahora bien, el número $N$ que buscamos tiene al menos $12$ dígitos ya que $11\cdot 9=99\lt 100$. Tiene además tres de ellos entre $1$ y $4$ para conseguir añadir $+10$ a la suma de los dígitos tras duplicar el número. Si $N$ tuviera $12$ dígitos, entonces sumarían un máximo de $3\cdot 4+9\cdot 9=93\lt 100$, luego no hay soluciones de $12$ dígitos. Supongamos entonces que $N$ tiene $13$ dígitos, en cuyo caso sí que se puede encontrar que la suma sea $100$. Para que $N$ sea lo menor posible, debemos elegir uno de esos dígitos lo menor posible (hará el papel de cifra más significativa) y esto se consigue eligiendo los números que aportan en $+10$ como $2,4,4$, en cuyo caso la única forma de rellenar las otras nueve cifras y que sumen $100$ es todo nueves. Hemos probado así que el menor número $N$ que cumple las condiciones del enunciado es \[N=2449999999999.\]
Nota. Una fórmula conocida que equivale al razonamiento inicial dado en la solución es $S(2N)=2S(N)-9a$, siendo $a$ el número de acarreos en la suma $N+N$, es decir, $a$ es la cantidad de dígitos entre $5$ y $9$ que tiene $N$.
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Problema 2082
OMCC, 2008-P2
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo inscrito en una circunferencia de centro $O$ y tal que $AC$ es un diámetro de la circunferencia. Se construyen paralelogramos $DAOE$ y $BCOF$. Demostrar que si $E$ y $F$ están en la circunferencia, entonces $ABCD$ es un rectángulo.
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Problema 2083
OMCC, 2008-P3
Hay $2008$ bolsas numeradas con los enteros del $1$ al $2008$ y en cada una de ellas hay $2008$ ranas. Dos personas juegan por turnos y, cada una de ellas, en su turno selecciona una bolsa y sacar de ella un número positivo de ranas dejando $x\geq 0$ ranas en la bolsa. Después de cada jugada, en cada bolsa con un número mayor que la seleccionada que tenga más de $x$ ranas, algunas ranas se escapan hasta quedar exactamente $x$ ranas en la bolsa. Quien se lleva la última rana de la bolsa con el número $1$ pierde. Encontrar una estrategia ganadora para una de las dos personas.
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Sesión 2
Problema 2084
OMCC, 2008-P4
Cinco niñas tienen una pequeña tienda que abre de lunes a viernes. Como solo se necesitan dos personas al mismo tiempo para cuidar la tienda, deciden hacer un plan de trabajo para la semana en el que se especifica quién trabajará cada día. El plan debe cumplir las siguientes condiciones:
- Cada una de las niñas trabajará exactamente $2$ días a la semana.
- Las cinco parejas asignadas para los cinco días de la semana deben ser distintas.
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Problema 2085
OMCC, 2008-P5
Encontrar un polinomio $p(x)$ con coeficientes reales tal que
\[(x+10)p(2x)=(8x-32)p(x+6)\]
para todo número real $x$ y $p(1)=210$.
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Problema 2086
OMCC, 2008-P6
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Consideremos dos puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $BPQC$ es un cuadrilátero cíclico. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABQ$ corta a $BC$ en $B$ y en otro punto $R$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $APC$ corta a $BC$ en $C$ y en otro punto $S$. Las rectas $PR$ y $QS$ se cortan en el punto $L$. Demostrar que la intersección de $AL$ y $BC$ no depende de la elección de $P$ y $Q$.
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