Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $P(n)$ el producto de todos los dígitos no nulos de un entero positivo $n$. Por ejemplo, $P(4)=4$, $P(50)=5$, $P(123)=6$ y $P(2009)=18$. Hallar el valor de la suma \[P(1)+P(2)+\ldots+P(2008)+P(2009).\]

Dos circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en los puntos $A$ y $B$. Consideres una circunferencia $\Gamma$ que es tangente interior a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Sea $C$ uno de los puntos de intersección de la recta $AB$ y $\Gamma$, sea $F$ la intersección de la recta $EC$ y $\Gamma_2$ y sea $G$ la intersección de la recta $DC$ y $\Gamma_1$. Sean $H$ e $I$ los puntos de intersección de la recta $ED$ con $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, respectivamente. Demostrar que $F,G,H,I$ están sobre una misma circunferencia.

Tenemos $2009$ cajas numeradas del $1$ al $2009$, algunas de las cuales contienen piedras. Dos jugadores, A y B, juegan por turnos empezando A. Un movimiento consiste en seleccionar una caja no vacía $i$, tomar una o más piedrad de esta caja y ponerlas en la caja $i+1$. Si $i=2009$, las piedras elegidas se eliminan. Gana el jugador que quita la última piedra.

1. Si hay $2009$ piedras en la caja $2$ y las demás están vacías inicialmente, encontrar una estrategia ganadora para alguno de los dos jugadores.
2. Si hay una piedra en cada caja inicialmente, encontrar una estrategia ganadora para alguno de los dos jugadores.

Queremos colocar números naturales alrededor de una circunferencia de forma que los valores absolutos de las diferencias de dos números consecutivos sean todos distintos.

1. ¿Es posible colocar los números del $1$ al $2009$ cumpliendo esta propiedad?
2. ¿Es posible colocar eliminar uno de los números del $1$ al $2009$ de forma que los $2008$ restantes se pueden colocar cumpliendo esta propiedad?

Dado un triángulo acutángulo y escaleno $ABC$, sean $H$ su ortocentro, $O$ su circuncentro y $E$ y $F$ los pies de las alturas trazadas desde $B$ y $C$, respectivamente. La recta $AO$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo de nuevo en el punto $G$ y a los segmentos $FE$ y $BC$ en los puntos $X$ e $Y$, respectivamente. Sea $Z$ el punto de interseccion de la recta $AH$ y la recta tangente a la circunferencia circunscrita en $G$. Probar que $HX$ es paralelo a $YZ$.

Encontrar todos los números primos $p$ y $q$ tales que \[p^3-q^5=(p+q)^2.\]