Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Los enteros positivos que no son múltiplos de $2$ ni de $5$ son aquellos cuyo dígito de las unidades es $1,3,7,9$. Hay exactamente $n$ números menores que $10n$ con dígito de las unidades un $j$ dado, a saber: \[j,10+j,20+j,\ldots 10(n-1)+j.\] La suma de estos $n$ números es \[10(1+2+\ldots+(n-1))+nj=5n(n-1)+nj=5n^2+(j-5)n.\] Por tanto, la suma que estamos buscando es \[5n^2+(1-5)n+5n^2+(3-5)n+5n^2+(7-5)n+5n^2+(9-5)n=20n^2.\]

Solución. Si suponemos que el triángulo $A_iA_jA_k$ tiene su ángulo obtuso en $A_i$, entonces $A_jA_k$ es el lado mayor y tiene que ser menor que el diámetro de la circunferencia circunscrita. Por comodidad, vamos a decir que la distancia entre $A_j$ y $A_k$ es $d$ si hay $d$ vértices en el arco menor de circunferencia $A_jA_k$. Esta distancia debe moverse entre $1$ y $n-1$ para que sea obtusángulo (distancia $n$ se pasa de un diámetro).

• Con distancia $1$ sólo hay dos posibles valores del par $(j,k)$, que son $(i-1,i+1)$ e $(i+1,i-1)$, donde suponemos que los vértices se numeran cíclicamente módulo $2n$.
• Con distancia $2$ hay cuatro casos: $(i-2,i+1),(i-1,i+2),(i+1,i-2),(i+2,i-1)$.
• En general, con distancia $d$, hay $2d$ posibles elecciones del par $(j,k)$, lo que nos da un total de triángulos obtusángulos con ángulo obtuso en $A_i$ igual a \[2(1+2+3+\ldots+(n-1))=n(n-1).\]

Ahora bien, como el ángulo obtuso puede ser cualquiera de los $2n+1$ vértices y también estar en $A_i$, $A_j$ o $A_k$, tendremos que multiplicar por $3\cdot (2n+1)$ el resultado, es decir, la solución al problema es $3n(n-1)(2n+1)$.

Nota. En el enunciado se dicen ternas, término que usualmente refleja que sí importa el orden (es decir, hemos considerado que una reordenación de los mismos tres vértices nos da una terna distinta). Si queremos calcular el número de posibles elecciones de tres vértices sin importar el orden (esto es, el número de triángulos) entonces hay que dividir todos los resultado entre $3!=6$, el número de reordenaciones. De esta forma, tendríamos $n(n-1)(2n+1)$ triángulos obtusángulos.

Solución. Usando que $abc=1$ y la hipótesis de que la suma de los números es mayor que la de la suma de sus recíprocos (inversos multiplicativos), podemos escribir \begin{align*} 0&\lt a+b+c-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=a+b+\frac{1}{ab}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-ab\\ &=\frac{a^2b+ab^2+1-b-a-a^2b^2}{ab}=\frac{(a-1)(b-1)(1-ab)}{ab}\\ &=(a-1)(b-1)(\tfrac{1}{ab}-1)=(a-1)(b-1)(c-1). \end{align*} Esta desigualdad estricta nos dice que ninguno de los números puede ser igual a $1$. Para que el producto de los signos en $(a-1)(b-1)(c-1)$ sea positivo, exactamente uno de los tres números debe ser mayor que $1$ (si los tres números son mayores que $1$, entonces el producto también sería positivo pero tendríamos $abc\gt 1$, en contra de lo que nos dice el enunciado).

Solución. Un triángulo rectángulo puede recubrirse con un semicírculo de diámetro su hipotenusa. Si descomponemos el triángulo en tres triángulos rectángulos de hipotenusa menor que $\frac{3}{5}$, habremos terminado puesto que por el principio del palomar en uno de ellos tienen que encontrarse $9$ de los puntos (si en cada uno hubiera $8$ o menos puntos, entonces el total de puntos no podría exceder $8\cdot 3=24$).

Llamamos $A$ al vértice con el ángulo recto, $B$ al vértice de $30^\circ$ y $C$ al de $60^\circ$. Sea $D$ el punto interior de $BC$ tal que $BE=\frac{3}{5}$ y trazamos la perpendicular a la hipotenusa $BC$ que pasa por $E$ y corta a $BC$ en otro punto $E$. Entonces, tenemos $ABC$ descompuesto como unión de los tres triángulos rectángulos $BDE$, $ACD$ y $BDE$, como se indica en la figura. Ahora bien, $BDE$ tiene hipotenusa $BD=\frac{3}{5}$, mientras que $ACD$ y $BDE$ comparten hipotenusa $CD$. El teorema de Pitágoras nos dice que \begin{align*} CD^2&=DA^2+AC^2=(AB-BD)^2+AC^2=(\mathrm{sen}(60)-\tfrac{3}{5})^2+\mathrm{cos}^2(60)\\ &=(\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{3}{5})^2+(\tfrac{1}{2})^2=\tfrac{34-15\sqrt{3}}{25} \end{align*} Tenemos que ver que este número es menor que $\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$, lo que equivale a ver que $34-15\sqrt{3}\lt 9$ o, más simplificadamente, $5\lt 3\sqrt{3}$. Esto es inmediato ya que, elevando al cuadrado por ser números positivos, la desigualdad se reduce a $25\lt 27$.

Solución. Consideremos los ángulos $\alpha=\angle APB$, $\beta=\angle BPC$, $\gamma=\angle CPD$ y $\delta=\angle DPA$, que suman $360^\circ$. Entonces, podemos escribir \begin{align*} \text{Área}(PAB&)=\tfrac{1}{2}PA\cdot PB\cdot\mathrm{sen}(\alpha),& \text{Área}(PCD&)=\tfrac{1}{2}PC\cdot PD\cdot\mathrm{sen}(\gamma),\\ \text{Área}(PBC&)=\tfrac{1}{2}PB\cdot PC\cdot\mathrm{sen}(\beta),& \text{Área}(PDA&)=\tfrac{1}{2}PD\cdot PA\cdot\mathrm{sen}(\delta). \end{align*} En particular tenemos que $\text{Área}(PAB)\cdot\text{Área}(PCD)=\text{Área}(PBC)\cdot\text{Área}(PDA)$ ya que las cuatro áreas son iguales, lo que nos da la igualdad trigonométrica \[\mathrm{sen}(\alpha)\mathrm{sen}(\gamma)=\mathrm{sen}(\beta)\mathrm{sen}(\delta).\qquad (\star)\] Ahora bien, como $\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ$, la igualdad $(\star)$ nos dice que \begin{align*} \cos(\alpha+\gamma)=\cos(\beta+\delta)&\ \Leftrightarrow\ \cos(\alpha)\cos(\gamma)-\mathrm{sen}(\alpha)\mathrm{sen}(\gamma)=\cos(\beta)\cos(\delta)-\mathrm{sen}(\beta)\mathrm{sen}(\delta)\\ &\ \Leftrightarrow\ \cos(\alpha)\cos(\gamma)=\cos(\beta)\cos(\delta). \end{align*} Elevando esta última al cuadrado y cambiando $\cos^2=1-\mathrm{sen}^2$, llegamos a que \[(1-\mathrm{sen}^2(\alpha))(1-\mathrm{sen}^2(\gamma))=(1-\mathrm{sen}^2(\beta))(1-\mathrm{sen}^2(\delta)).\] Desarrollamos y usamos $(\star)$ de nuevo para obtener que \[\mathrm{sen}^2(\alpha)+\mathrm{sen}^2(\gamma)=\mathrm{sen}^2(\beta)+\mathrm{sen}^2(\delta)\] Sumando dos veces $(\star)$ a esta última ecuación, nos queda \[\left(\mathrm{sen}(\alpha)+\mathrm{sen}(\gamma)\right)^2=\left(\mathrm{sen}(\beta)+\mathrm{sen}(\delta)\right)^2.\] Como todos los senos son positivos (aquí usamos que el cuadrilátero es convexo, luego $\alpha,\beta,\gamma,\delta\lt 180^\circ$), deducimos finalmente que $\mathrm{sen}(\alpha)+\mathrm{sen}(\gamma)=\mathrm{sen}(\beta)+\mathrm{sen}(\delta)$. En otras palabras, las dos parejas $(\mathrm{sen}(\alpha),\mathrm{sen}(\gamma))$ y $(\mathrm{sen}(\beta),\mathrm{sen}(\delta))$ tienen la misma suma y el mismo producto, luego son iguales salvo reordenación.

• Si $\mathrm{sen}(\alpha)=\mathrm{sen}(\beta)$ y $\mathrm{sen}(\gamma)=\mathrm{sen}(\delta)$, hay dos posibilidades. La primera es que $\alpha+\beta=180^\circ$ o bien $\gamma+\delta=180^\circ$ (en cuyo caso, $P$ está en la diagonal $AC$). La segunda es que $\alpha=\beta$ y $\gamma=\delta$; como $\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ$, se tiene que $\alpha+\delta=180^\circ$ y $P$ está sobre $BD$.
• Si $\mathrm{sen}(\alpha)=\mathrm{sen}(\delta)$ y $\mathrm{sen}(\gamma)=\mathrm{sen}(\beta)$, se razona de forma totalmente análoga y $P$ estará sobre una de las dos diagonales.

Como $P$ está sobre una de las dos diagonales, supongamos que sobre $AC$, se sigue que $P$ es el punto medio de $AC$ ya que los triángulos $PAB$ y $PBC$ tienen bases $AP$ y $CP$ y la misma altura sobre ellas, luego $AP=CP$ para que sus áreas coincidan. Además, las distancias de $B$ y $D$ a $AC$ tienen que ser la misma para que los cuatro triángulos tengan la misma área.

En resumen, la condición que nos piden es que coincidan las distancias de dos vértices opuestos del cuadrilátero a la diagonal que pasa por los otros dos vértices y que el punto $P$ sea el punto medio de dicha diagonal.

Solución. Por un lado, podemos reescribir la condición que nos dan como \[b^3+b^2(a+c)-b(a^2+c^2-ac)=a^3+c^3=(a+c)(a^2+c^2-ac),\] lo que nos permite deducir que \[(a+b+c)(b^2-a^2-c^2+ac)=0.\] Como quiera que el perímetro $a+b+c$ no puede ser cero, tendrá que ser $b^2=a^2+c^2-ac$, ecuación que nos recuerda al teorema del coseno $b^2=a^2+c^2-2ac\cos(B)$, de donde obtenemos que $B=\frac{\pi}{3}$ (estamos midiendo en radianes, aunque veremos que no es relevante).

Ahora bien, si en la igualdad a la que queremos llegar pasamos todo al miembro de la izquierda y ponemos denominador común, tenemos que \[\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}+\frac{1}{\sqrt{B}+\sqrt{C}}-\frac{2}{\sqrt{A}+\sqrt{C}}=\frac{A-2B+C}{(\sqrt{A}+\sqrt{B})(\sqrt{B}+\sqrt{C})(\sqrt{A}+\sqrt{C})}=0,\] dado que $B=\frac{\pi}{3}$ y, por tanto, $A+C=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$, de donde $A-2B+C=0$.

Solución. Vamos a contar en primer lugar las tangencias que se producen entre las esferas de cada piso de la pila, para lo que supondremos que tenemos un triángulo formado por esferas que descansan sobre un plano con $k$ esferas en cada lado del triángulo. Si consideramos en este triángulo hileras paralelas de $1,2,\ldots,k$ esferas, entonces en la hilera con $j$ esferas se producen $j-1$ puntos de contacto entre ellas y $2j$ puntos de contactos con los de la hilera siguiente (de $j+1$ esferas). Por tanto, en el triángulo de lado $k$ tendremos el siguiente número de contactos: \begin{align*} P_k&=[1+2+\ldots+(k-1)]+[2+4+6+2(k-1)]\\ &=3(1+2+\ldots+(k-1))=\frac{3(k-1)k}{2}. \end{align*} El primer corchete son contactos en la misma hilera y el segundo entre hileras consecutivas.

Ahora bien, aparte de las tangencias entre puntos del mismo piso, cada esfera del toca a tres esferas del piso inmediatamente inferior. Por ello, el número total de puntos de contacto es: \begin{align*} \text{Total}&=P_1+\ldots+P_n+3\left(1+3+6+\ldots+\frac{n(n-1)}{2}\right)\\ &=3(1^2+2^2+\ldots+n^2)-3(1+2+\ldots+n)\\ &=3\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-3\frac{n(n+1)}{2}=n(n-1)(n+1). \end{align*}

Nota. Hemos usado las siguientes fórmulas conocidas: \[\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]

Solución. Llamando $y=f(x)$, tenemos la ecuación $x+\frac{1}{x}=y+\frac{1}{y}$ en la incógnita $y$, que no es más que la ecuación de segundo grado $y^2-(x+\frac{1}{x})y+1=0$ (podemos multiplicar por $y$ puesto que $y\neq 0$). Sus soluciones son \[f(x)=y=\frac{-(x+\frac{1}{x})\pm\sqrt{(x+\frac{1}{x})^2-4}}{2}=\frac{-(x+\frac{1}{x})\pm(x-\frac{1}{x})}{2},\] lo que nos dice que $f(x)=x$ o bien $f(x)=\frac{1}{x}$ para cada $x\in\mathbb{R}^+$. Ahora bien, podría elegirse $f(x)=x$ para algunos valores de $x$ y $f(x)=\frac{1}{x}$ para otros, pero nos piden que la función $f$ sea continua. Las gráficas $y=x$ e $y=\frac{1}{x}$ se cortan únicamente en $x=1$, luego la continuidad nos dice tenemos que elegir una de las dos para todos los $x\in(0,1]$ y una de las dos para todos los $x\in[1,+\infty)$. Tenemos así cuatro soluciones: \begin{align*} f(x)&=x \text{ para todo }x>0,&f(x)&=\frac{1}{x}\text{ para todo }x>0,\\ f(x)&=\begin{cases}x&\text{si }0\lt x\leq 1,\\\frac{1}{x}&\text{si }x\gt 1,\end{cases}& f(x)&=\begin{cases}\frac{1}{x}&\text{si }0\lt x\leq 1,\\x&\text{si }x\gt 1.\end{cases} \end{align*}

Solución. Los restos de dividir $2^r$ entre $7$ se van repitiendo periódicamente y podemos reflejarlos en la siguiente tabla: \[\begin{array}{c|ccccccccccccccccc} r&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&\cdots\\\hline 2^r\ (\text{mod }7)&2&4&1&2&4&1&2&4&1&2&4&1&2&4&1&2&\cdots \end{array}\] Los restos de $16^s=2^{4s}$ también son periódicos al incrementar $s$ y simplemente hay que recorrer la tabla anterior saltando de cuatro en cuatro: \[\begin{array}{c|ccccc} s&1&2&3&4&\cdots\\\hline 16^s\ (\text{mod }7)&2&4&1&2&\cdots \end{array}\] Otra forma de ver que las dos tablas son realmente la misma es darse cuenta de que $16^s=8^s2^s\equiv 1^s2^2\equiv 2^s\ (\text{mod }7)$, o directamente usando que $16\equiv 2\ (\text{mod }7)$. Además, para obtener $5$ como diferencia de dos números de la tabla sólo tenemos la posibilidad $2-4\equiv 5\ (\text{mod }7)$. Como los restos se repiten de tres en tres, la respuesta a la primera pregunta es que $r\equiv 1\ (\mathrm{mod }3)$ y $s\equiv 2\ (\text{mod }3)$.

Un ejemplo de número positivo que cumple estas condiciones se tiene para $r=10$ y $s=2$, lo que nos da \[n=2^{10}-16^2=1024-256=768.\] Este es el número positivo más pequeño que se obtiene con $s=2$. Ahora bien, si $s\geq 5$ (que es el siguiente número congruente con $2$ módulo $3$), entonces para que $n=2^r-16^s=2^r-2^{4s}$ sea positivo, tiene que ser $r\geq 4s+1$, lo que nos da $n\geq 2^{4s+1}-2^{4s}=2^{4s}\geq 16^5\gt 768$. Deducimos por tanto que $n=768$ es el menor entero que cumple la condición del enunciado.

Solución. El triángulo es rectángulo cuando su hipotenusa es un diámetro de la circunferencia circunscrita del polígono, es decir, cuando dos de sus vértices sean diametralmente opuestos. Hay $2n$ pares $(i,j)$ tales que $A_iA_j$ son diametralmente opuestos y, para cada uno de ellos, hay $2n-2$ elecciones del tercer vértice $A_k$ (los $2n-2$ vértices restantes). Por lo tanto, tenemos $3\cdot 2n\cdot (2n-2)=12n(n-1)$ ternas $(i,j,k)$ tales que $A_iA_jA_k$ es rectángulo (hemos multiplicado por $3$ porque los vértices diametralmente opuestos pueden ser $A_iA_j$, $A_jA_k$ o $A_iA_k$).

Vamos a contar ahora los triángulos obtusángulos en lugar de los acutángulos. Esto es más sencillo porque el ángulo obtuso es único y distinguible de los demás. Si suponemos que el triángulo $A_iA_jA_k$ tiene su ángulo obtuso en $A_i$, entonces $A_jA_k$ es el lado mayor y tiene que ser menor que un diámetro. Vamos a decir que la distancia entre $A_j$ y $A_k$ es $d$ si hay $d$ vértices en el arco de circunferencia $A_jA_k$, luego la distancia debe moverse entre $1$ y $n-2$ para que sea obtusángulo.

• Con distancia $1$ sólo hay dos posibles valores del par $(j,k)$, que son $(i-1,i+1)$ e $(i+1,i-1)$, donde suponemos que los vértices se numeran cíclicamente módulo $2n$.
• Con distancia $2$ hay cuatro casos: $(i-2,i+1),(i-1,i+2),(i+1,i-2),(i+2,i-1)$.
• En general, con distancia $d$, hay $2d$ posibles elecciones del par $(j,k)$, lo que nos da un total de triángulos obtusángulos con ángulo obtuso en $A_i$ igual a \[2(1+2+3+\ldots+(n-2))=(n-1)(n-2).\]

Ahora bien, como el ángulo obtuso puede ser cualquiera de los $2n$ vértices y también estar en $A_i$, $A_j$ o $A_k$, tendremos que multiplicar por $3\cdot 2n$ el resultado, es decir, tendremos un total de $6n(n-1)(n-2)$ ternas $(i,j,k)$ tales que $A_iA_jA_k$ es obtusángulo.

El número total de ternas (ordenadas) de tres elementos de un conjunto de $2n$ elementos es $2n(2n-1)(2n-2)$. Como el número de ternas que nos dan triángulos acutángulos serán las que no nos dan rectángulos ni obtusángulos, tenemos que el número buscado es \[2n(2n-1)(2n-2)-12n(n-1)-6n(n-1)(n-2)=2n(n-1)(n-2).\]

Nota. En el enunciado se dicen ternas, término que usualmente refleja que sí importa el orden (es decir, hemos considerado que una reordenación de los mismos tres vértices nos da una terna distinta). Si queremos calcular el número de posibles elecciones de tres vértices sin importar el orden (esto es, el número de triángulos) entonces hay que dividir todos los resultado entre $3!=6$, el número de reordenaciones. De esta forma, tendríamos $2n(n-1)$ triángulos rectángulos y $\frac{1}{3}n(n-1)(n-2)$ acutángulos.