Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar todos los enteros positivos que sean iguales a $700$ veces la suma de sus dígitos.

Sea $\gamma$ la circunferencia circunscrita al triágulo acutángulo $ABC$. Sea $P$ el punto medio del arco menor $BC$. La paralela por $P$ a la recta $AB$ corta a $BC$, $AC$ y $\gamma$ en los puntos $R$, $S$ y $T$, respectivamente. Se definen los puntos $K$ y $L$ como las intersecciones de $AP$ con $BT$ y $BS$ con $AR$. Demostrar que la recta $KL$ pasa por el punto medio de $AB$ si y solo si $CS=PR$.

Sean $a,b,c$ números reales que satisfacen 1 \[\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=1\quad\text{y}\quad ab+bc+ca\gt 0.\] Demostrar que \[a+b+c-\frac{abc}{ab+bc+ca}\geq 4.\]

Trilandia es una ciudad muy peculiar. La ciudad tiene forma de triángulo equilátero de lado 2012 y tiene 6036 calles (2012 paralelas a cada lado del triángulo, incluyendo el propio lado) que la dividen en bloques con forma de triángulo equilátero de lado 1. El alcalde quiere ubicar puestos de vigilancia en algunas esquinas de la ciudad, para vigilar las calles. Un puesto de vigilancia puede vigilar todas las calles en las que esté ubicado. ¿Cuál es la menor cantidad de puestos que se requieren para poder vigilar todas las calles de Trilandia?

Alejandro y Luisa son una pareja de ladrones. Cada día por la mañana, Luisa le roba a Alejandro un tercio de su dinero, pero por la tarde sufre de un inusual ataque de conciencia y le da la mitad de todo el dinero que ella tiene. Si Luisa roba por primera vez en el día $1$ y antes de eso no tenía dinero, ¿cuál es la menor cantidad entera positiva de dinero que Alejandro debe tener para que al final del día 2012 ambos tengan una cantidad entera de dinero?

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\lt BC$ y sean $E$ y $F$ puntos en $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $BF=BC=CE$, ambos ubicados en el mismo lado que $A$ respecto de $BC$. Sea $G$ la intersección de $BE$ con $CF$. Se toma un punto $H$ sobre la paralela a $AC$ por $G$ tal que $HG=AF$ (con $H$ en distinto lado que $C$ respecto de $BG$). Demostrar que $\angle EHG=\frac{1}{2}\angle BAC$.