Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ están en el interior de los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente, de forma que $DE$ es perpendicular a $CO$ y $DF$ es perpendicular a $BO$. Sea $K$ el circuncentro del triángulo $AFE$. Demostrar que las rectas $DK$ y $BC$ son perpendiculares.

Sea $n$ un entero positivo. Hallar el mayor entero $m$ (en función de $n$), con la siguiente propiedad: una tabla con $m$ filas y $n$ columnas puede rellenarse con números reales de forma que para cualesquiera dos filas distintas $[a_1,a_2,\ldots,a_n]$ y $[b_1,b_2,\ldots,b_n]$ se cumple que \[\max\{|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\ldots,|a_n-b_n|\}=1.\]

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que \[f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y)\] para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$.

Dado un conjunto $A$ de números enteros, diremos que $A$ es suma-completo si todo elemento de $A$ se puede expresar como suma de dos elementos (no necesariamente distintos) de $A$; diremos que $A$ es no-suma-cero si $0$ es el único entero que no se puede expresar como la suma de elementos de un subconjunto finito no vacío de $A$. ¿Existe algóun conjunto de enteros que sea suma-completo y no-suma-cero simultáneamente?

Los números $p$ y $q$ son primos y cumplen que \[\frac{p}{p+1}+\frac{q+1}{q}=\frac{2n}{n+2}\] para algún entero positivo $n$. Hallar todos los valores posibles de $q-p$.

En la red social Mugbook hay registrado un número infinito de usuarios. Algunos de ellos son amigos en la red social, si bien cada miembro tiene una cantidad finita de amigos y al menos uno (distinto de sí mismo). La amistad es una relación simétrica, es decir, si $A$ es amigo de $B$, entonces $B$ es amigo de $A$.

A cada persona se le pide designar uno de sus amigos como mejor amigo, aunque desafortunadamente ser mejor amigo no es una relación simétrica. Si una persona ha sido designada como mejor amigo por alguien, entonces diremos que es un $1$-mejor amigo. En general, para $n\gt 1$, diremos que un usuario es un $n$-mejor amigo si ha sido designado mejor amigo por alguien que es un $(n-1)$-mejor amigo. Diremos que un usuario es popular si es un $k$-mejor amigo para todo entero positivo $k$.

1. Demostrar que toda persona popular es el mejor amigo de otra persona popular.
2. Demostrar que si los usuarios pudieran tener infinitos amigos, entonces sería posible que una persona popular no sea el mejor amigo de otra persona popular.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ y ortocentro $H$. Sea $K$ un punto de $\Gamma$ al otro lado de la recta $BC$ que $A$. Sean $L$ y $M$ los puntos simétricos de $K$ respeto de las rectas $AB$ y $BC$, respectivamente. Sea $E$ el segundo punto de intersección de $\Gamma$ con la circunferencia circunscrita al triángulo $BLM$. Demostrar que las rectas $KH$, $EM$ y $BC$ son concurrentes.

Una palabra es una sucesión finita de caracteres de un alfabeto. Una palabra se dice repetitiva si es una concatenación de al menos dos palabras idénticas (por ejemplo, $ababab$ y $abcabc$ son palabras repetitivas, pero $ababa$ no lo es). Demostrar que si una palabra tiene la propiedad de que al permutar dos caracteres consecutivos la palabra resultante es repetitiva, entonces todos los caracteres de la palabra son el mismo.