Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Juan escribe la lista de parejas $(n,3^n)$ para $n=1,2,3,\ldots$ en una pizarra. A medida que va escribiendo la lista, subraya las parejas $(n,3^n)$ siempre que $n$ y $3^n$ tienen la misma cifra de las unidades. De las parejas subrayadas, ¿cuál ocupa la posición 2013?

Alrededor de una mesa redonda están sentadas en sentido horario las personas $P_1, P_2,\ldots, P_{2013}$. Cada una tiene cierta cantidad de monedas (posiblemente ninguna) y entre todas tienen 10000 monedas. Comenzando por $P_1$ y prosiguiendo en sentido horario, cada persona en su turno hace lo siguiente:

• Si tiene un número par de monedas, se las entrega todas a su vecino de la izquierda.
• Si en cambio tiene un número impar de monedas, le entrega a su vecino de la izquierda un número impar de monedas (al menos una y como máximo todas las que tiene), y conserva el resto.

Demostrar que, repitiendo este procedimiento, llegará un momento en que todas las monedas estén en poder de una misma persona.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y $M$ el punto medio del lado $AB$. La circunferencia que pasa por $D$ y es tangente al lado $AB$ en $A$ corta al segmento $DM$ en $E$. La circunferencia que pasa por $C$ y es tangente al lado $AB$ en $B$ corta al segmento $CM$ en $F$. Supongamos que las rectas $AF$ y $BE$ se cortan en un punto que pertenece a la mediatriz del lado $AB$. Demostrar que $A$, $E$ y $C$ están alineados si y solo si $B$, $F$ y $D$ están alineados.

Ana y Beatriz alternan turnos en un juego que se inicia con un cuadrado de lado $1$ dibujado en un tablero infinito. Cada jugada consiste en dibujar un cuadrado que no se sobreponga con la figura ya dibujada, de manera que uno de sus lados sea un lado (completo) del rectángulo que está dibujado. Gana el juego aquella persona que logre completar una figura cuya área sea múltiplo de 5. Si Ana realiza la primera jugada, ¿existe una estrategia ganadora para alguna jugadora?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. La bisectriz del ángulo $A$ corta a $BC$ en $D$, a $\Gamma$ en $K$ (distinto de $A$) y a la tangente a $\Gamma$ por $B$ en $X$. Demostrar que $K$ es el punto medio de $AX$ si y solo si \[\frac{AD}{DC}=\sqrt{2}.\]

Determine todas las parejas de polinomios no constantes $p(x)$ y $q(x)$, cada uno con coeficiente principal $1$, grado $n$ y $n$ raíces enteras no negativas, tales que \[p(x)-q(x)=1.\]