Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2748 problemas y 1042 soluciones.
XXVIII Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas — 2013
Sesión 1 — 24 de septiembre de 2013
Problema 947
OIM, 2013-P1
Un conjunto $S$ de enteros positivos se llama canalero si para cualesquiera tres números $a,b,c\in S$, todos diferentes, se cumple que $a$ divide a $bc$, $b$ divide a $ca$ y $c$ divide a $ab$.
- Demostrar que, para cualquier conjunto finito de enteros positivos $\{c_1,c_2,\ldots,c_n\}$, existen infinitos enteros positivos $k$ tales que el conjunto $\{kc_1, kc_2,\ldots,kc_n\}$ es canalero.
- Demostrar que, para cualquier entero $n\geq 3$, existe un conjunto canalero que tiene exactamente $n$ elementos y ningún entero mayor que $1$ divide a todos sus elementos.
pistasolución 1info
Pista. Juega con los factores primos de los elementos del conjunto canalero.
Solución. En el apartado (a) es suficiente tomar $k=jm$, siendo $m$ el mínimo común múltiplo de $c_1,c_2,\ldots,c_n$ y $j$ cualquier entero positivo. De esta forma, es obvio que $kc_\alpha=jmc_\alpha$ divide a $kc_\beta\cdot kc_\gamma=j^2m^2c_\beta c_\gamma$ para cualesquiera subíndices $\alpha,\beta,\gamma$.
En cuanto al apartado (b), consideremos $p_1,p_2,\ldots,p_n$ primos distintos y sea $c_i=p_1\cdots p_{i-1}p_{i+1}\cdots p_n$ el producto de todos los primos excepto $p_i$. Está claro también que $c_\alpha$ divide a $c_\beta c_\gamma$ para cualesquiera subíndices distintos $\alpha,\beta,\gamma$ ya que $c_\beta c_\gamma$ contiene a todos los primos en su factorización.
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Problema 948
OIM, 2013-P2
Sean $X$ e $Y$ los extremos de un diámetro de una circunferencia $\Gamma$ y $N$ el punto medio de uno de los arcos $XY$ de $\Gamma$. Sean $A$ y $B$ dos puntos en el segmento $XY$. Las rectas $NA$ y $NB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Las tangentes a $\Gamma$ en $C$ y $D$ se cortan en $P$. Sea $M$ el punto de intersección del segmento $XY$ con el segmento $NP$. Demostrar que $M$ es el punto medio del segmento $AB$.
Sin pistas
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Problema 949
OIM, 2013-P3
Sea $A=\{1,2,3,\ldots,n\}$ con $n\gt 5$. Demostrar que existe un conjunto finito $B$ de enteros positivos distintos tal que $A\subseteq B$ tal que
\[\prod_{x\in B}x=\sum_{x\in B}x^2,\]
es decir, el producto de los elementos de $B$ es igual a la suma de sus cuadrados.
pistasolución 1info
Pista. Cada vez que tienes un conjunto $B$ puedes añadirle un término específicamente seleccionado para que la diferencia entre el producto y la suma decrezca exactamente en una unidad.
Solución. Para cada conjunto finito de enteros positivos $X$, definimos
\[P(X)=\prod_{x\in X}x,\qquad S(X)=\sum_{x\in X}x^2,\qquad D(X)=P(X)-S(X).\]
Ahora consideramos la sucesión de conjuntos definida por $X_0=A$ y $X_k=X_{k-1}\cup\{P(X_{k-1})-1\}$ para todo $k\geq 1$; en particular, todos los $X_k$ contienen a $A$ ya que se pasa de $X_{k-1}$ a $X_k$ añadiendo un elemento. Será suficiente encontrar $k$ tal que $D(X_k)=0$ y definir $B=X_k$.
Comenzamos observando que \[S(X_0)=\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\lt n(n-1)(n-2)\lt \prod_{k=1}^nk=P(X_0).\] ya que, para $n\gt 5$, se tiene que $n+1\lt 2(n-2)$ y $2n+1\lt 3(n-1)$. Esto nos dice que $D(X_0)=P(X_0)-S(X_0)\gt 0$. Ahora bien, se tiene que \begin{align*} D(X_k)&=P(X_k)-S(X_k)=P(X_{k-1})(P(X_{k-1})-1)-S(X_{k-1})-(P(X_{k-1})-1)^2\\ &=P(X_{k-1})^2-P(X_{k-1})-S(X_{k-1})-P(X_{k-1})^2+2P(X_{k-1})-1=D(X_{k-1})-1. \end{align*} Por lo tanto, la sucesión $D(X_k)$ comienza en un número positivo y decrece en una unidad en cada paso. Deducimos que será cero tras un cierto número de términos y hemos terminado.
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Sesión 2 — 25 de septiembre de 2013
Problema 950
OIM, 2013-P4
Sean $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$, $AE$ un diámetro de $\Gamma$ y $B$ el punto medio de uno de los arcos $AE$ de $\Gamma$. El punto $D\neq E$ está sobre el segmento $OE$. El punto $C$ es tal que el cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo con $AB$ paralelo a $CD$ y $BC$ paralelo a $AD$. Las rectas $EB$ y $CD$ se cortan en el punto $F$. La recta $OF$ corta al arco menor $EB$ de $\Gamma$ en el punto $I$. Demostrar que la recta $EI$ es la bisectriz del ángulo $\angle BEC$.
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Problema 951
OIM, 2013-P5
Sean $A$ y $B$ dos conjuntos tales que:
- $A\cup B$ es el conjunto de los enteros positivos.
- $A\cap B$ es el vacío.
- Si dos enteros positivos tienen como diferencia a un primo mayor que $2013$, entonces uno de ellos está en $A$ y el otro en $B$.
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Problema 952
OIM, 2013-P6
Una configuración es un conjunto finito $S$ de puntos del plano entre los cuales no hay tres colineales y a cada punto se le asigna algún color de modo que, si un triángulo cuyos vértices están en $S$ tiene un ángulo mayor o igual a $120^\circ$, entonces exactamente dos de sus vértices son de un mismo color. Hallar el número máximo de puntos que puede tener un configuración.
Sin pistas
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