Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Extendemos el lado $BC$ del triángulo $ABC$ hasta un punto $D$ más allá de $C$ de forma que $CD=BC$. El lado $CA$ se extiende también más allá de $A$ hasta un punto $E$ tal que $AE=2CA$. Demostrar que si $AD=BE$, entonces el triángulo $ABC$ es rectángulo.

Determinar todos los enteros $m$ para los que un cuadrado $m\times m$ puede dividirse en cinco rectángulos cuyas longitudes son los enteros $1,2,\ldots,10$ en algún orden.

Sea $n$ un entero positivo.

1. Demostrar que existe un conjunto $S$ formado por $6n$ enteros positivos distintos tal que el mínimo común múltiplo de cualesquiera dos elementos de $S$ no es mayor que $32n^2$.
2. Demostrar que cualquier conjunto $T$ formado por $6n$ enteros positivos distintos tiene dos elementos distintos cuyo mínimo común múltiplo es mayor que $9n^2$.

Encontrar todos los enteros positivos $a$ y $b$ para los que hay tres enters consecutivos en los que el polinomio \[P(n)=\frac{n^5+a}{b}\] toma valores enteros.

Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ y sea $\omega$ la circunferencia tangente a los lados $AB$ y $BC$ que además es tangente internamente a $\Omega$ en un punto $P$. Una recta paralela a $AB$ que corta el interior del triángulo $ABC$ es tangente a $\omega$ en el punto $Q$. Demostrar que $\angle ACP=\angle QCB$.

Blancanieves y los siete enanitos viven en su casa del bosque. Los enanitos trabajaron durante 16 días consecutivos y cada día algunos trabajaron en la mina de diamantes mientras que el resto recogieron bayas en el bosque. Ninguno de ellos realiza ambas tareas el mismo día. El primer día, todos trabajaron en la mina, pero si elegimos dos días aleatoriamente, sabemos que hay al menos tres enanitos que realizaron ambas tareas entre esos dos días. Demostrar que hubo al menos un día en que los siete se dedicaron a recoger bayas.