Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un entero positivo se denomina tico si es el producto de tres números primos diferentes que suman $74$. Comprobar que $2014$ es tico. ¿Cuál es el próximo año tico? ¿cuál será el último año tico de la historia?

Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $CD$ inscrito en una circunferencia de centro $O$. Sea $P$ la intersección de las rectas $BC$ y $AD$. Una circunferencia por $O$ y $P$ corta a los segmentos $BC$ y $AD$ en los puntos $F$ y $G$, respectivamente. Demostrar que $BF=DG$.

Sean $a,b,c,d$ números reales no nulos y distintos entre sí y tales que \[\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=4\quad\text{y}\quad ac=bd.\] Hallar el mayor valor posible de \[\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}.\]

Con cuadrados de lado 1 se forma en cada etapa una figura en forma de escalera, siguiendo el patrón del dibujo. Por ejemplo, la primera etapa utiliza 1 cuadrado, la segunda utiliza 5, etc. Determinar la mayor etapa para la cual la figura correspondiente utiliza menos de 2014 cuadrados.

Se marcan los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ sobre una recta, en ese orden, con $AB$ y $CD$ mayores a $BC$. Se construyen los triángulos equiláteros $APB$, $BCQ$ y $CDR$, con $P$, $Q$ y $R$ en el mismo lado respecto a $AD$. Si $\angle PQR = 120^\circ$, demostrar que \[\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{BC}.\]

Un entero positivo es divertido si para todo $d$ divisor positivo de $n$, $d+2$ es un número primo. Encontrar todos los números divertidos que tengan la mayor cantidad posible de divisores.