Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determina todos los números reales $t$ tales que si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado, entonces $a^2+bct,b^2+cat,c^2+abt$ son también las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado.

Sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ de un triángulo $ABC$, respectivamente, y tales que $DB = BC = CE$. Sean $F$ el punto de intersección de las rectas $CD$ y $BE$, $I$ el incentro del triángulo $ABC$, $H$ el ortocentro del triángulo $DEF$ y $M$ el punto medio del arco $BAC$ del circuncírculo del triángulo $ABC$. Demuestra que $I$, $H$ y $M$ son colineales.

Denotamos por $d(m)$ el número de divisores positivos de un entero positivo $m$, y por $\omega(m)$ el número de primos distintos que dividen a $m$. Sea $k$ un entero positivo. Demuestra que hay una infinidad de enteros positivos $n$ tales que $\omega(n)=k$ y $d(n)$ no divide a $d(a^2+b^2)$ para todos $a$ y $b$ enteros positivos tales que $a+b=n$.

Encuentra todos los enteros $n\geq 2$ para los cuales existen enteros $x_1, x_2,\ldots, x_{n-1}$ que satisfacen la siguiente condición: si $0\lt i\lt n$, $0\lt j\lt n$ con $i\neq j$ y $2i + j$ divisible por $n$, entonces $x_i\lt x_j$.

Sea $n$ un entero positivo. Se tienen $n$ cajas y cada caja contiene un número no negativo de fichas. Un movimiento consiste en tomar dos fichas de una de las cajas, dejar una fuera de las cajas y poner la otra en otra caja. Decimos que una configuración de fichas es resoluble si es posible aplicar un número finito de movimientos (que puede ser igual a cero) para obtener una configuración en la que no haya cajas vacías. Determinar todas las configuraciones iniciales de fichas que no son resolubles y se vuelven resolubles al agregar una ficha en cualquiera de las cajas (sin importar en qué caja se pone la ficha).

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la siguiente condición: \[f(y^2+2xf(y)+f(x)^2)=(y+f(x))(x+f(y))\] para cualesquiera números reales $x$ e $y$.