Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Desarrollando los términos, la desigualdad equivale a la siguiente: \[(a-a^2)x^2-2abxy+(b-b^2)y^2\geq 0.\] Tenemos ahora que $a-a^2=a(1-a)=ab$ y $b-b^2=b(1-b)=ab$, luego la desigualdad anterior a su vez equivale a la siguiente: \[abx^2-2abxy+aby^2\geq 0\ \Longleftrightarrow\ ab(x-y)^2\geq 0.\] Como esta última es obviamente cierta, la primera también lo es. Además, la igualdad se alcanza cuando $a=0$ o $b=0$ o $x=y$.

Solución. No es más que la desigualdad de Jensen para la función estrictamente convexa $f(t)=t^2$ con pesos $a$ y $b$. La igualdad se alcanza cuando uno de los pesos es cero o bien cuando los puntos son iguales, es decir, cuando $a=0$ o $b=0$ o $x=y$.

Solución. Supongamos que hay $n$ equipos, luego el número de enfrentamientos (ida y vuelta) es de $n(n-1)$ y, si excluimos al campeón, el resto de equipos se enfrentará $(n-1)(n-2)$ veces. Cada enfrentamiento reparte 3 puntos (2 al ganador y 1 al perdedor). Supongamos además que el campeón ha ganado $g$ partidos y, por tanto, perdido los otros $2n-2-g$ partidos. De esta forma, \[2015=3(n-1)(n-2)+g+2(2n-2-g)=3n^2-5n-g+2.\] Ahora basta dar valores a la función cuadrática $f(n)=3n^2-5n+2$ para ver en qué momento su valor pasa de $2015$ (esta función se anula en $n=\frac{2}{3}$ y $n=1$, luego es creciente para $n\geq 1$). Como $f(26)=1900$ y $f(27)=2054$, vamos a considerar el caso $n=27$, que nos da $g=2054-2015=39$.

Si probamos que no puede ser $n\gt 27$, habremos probado que la única solución es $39$ partidos. Para ello, observamos que el número máximo de partidos que puede haber ganado el campeón es $2n-2$, luego se cumple que \[2015=3n^2-5n-g+2\geq 3n^2-5n-(2n-2)+2=3n^2-7n+4.\] La función $g(n)=3n^2-7n+4$ es creciente para $n\geq \frac{7}{6}$ y cumple que $g(27)=2002$ y $g(28)=2160\gt 2015$, lo que demuestra que no puede ser $n\geq 28$.

Solución. Despejando $2y=z-x$ en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, tenemos que \[310=x^2-(2y)^2+z^2=x^2-(z-x)^2+z^2=2xz,\] luego $xz=155$. Podemos factorizar $155=5\cdot 31$, lo que nos da muy pocas opciones para el par $(x,z)$. Además, tenemos que $2y=z-x$, luego tiene que ser $z\gt x$ ya que $y$ debe ser un entero positivo:

• Si $(x,z)=(1,155)$, entonces $y=77$ y $xyz=11935$.
• Si $(x,z)=(5,31)$, entonces $y=13$ y $xyz=2015$ (¡el año!).

Se comprueba fácilmente que las anteriores son soluciones, luego los posibles valores de $xyz$ son $2015$ y $11935$.

Solución. La primera ecuación se puede escribir como $2x\sqrt{x+1}=1+y+y^2$ y, elevando al cuadrado, obtenemos $4x^2(x+1)=(1+y+y^2)^2$. Por lo tanto, \[(x^2+x+1)^2=(x^2-x-1)^2+4x^2(x+1)=(x^2-x-1)^2+(y^2+y+1)^2,\] por lo que se cumple la desigualdad \[(x^2+x+1)^2\geq (y^2+y+1)^2\] y la igualdad se da si y sólo si $x^2-x-1=0$. Razonando de forma similar con las otras ecuaciones, llegamos a que \[(x^2+x+1)^2\geq (y^2+y+1)^2\geq (z^2+z+1)^2\geq (x^2+x+1)^2,\] por lo que se ha de cumplir necesariamente la igualdad en todas las desigualdades y deducimos que $x=y=z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, que es el único número positivo que cumple $x^2-x-1=0$.

Solución. El problema se reduce a probar que si la primera y la segunda persona han respondido ambas No, entonces la tercera debe responder Sí (¿por qué?).

Llamemos a las personas $A,B,C,D,E,F$ en este orden, de forma que primero se pregunta a $A$ (quien ve a $C,D,E$), luego se pregunta a $B$ (quien ve a $D,E,F$) y finalmente a $C$ (quien ve a $E,F,A$). Como $A$ responde No, se deduce que $C,D,E$ no tienen los tres el mismo color. Como $B$ responde No, $D$ y $E$ deben tener distinto color (si fueran del mismo, $B$ respondería que $C$ es del otro color a la vista de lo que ha dicho $A$). Por lo tanto, $C$ dirá Sí porque sabe que $D$ es del color distinto al que ve en $E$.

Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática con pesos nos dice que \[au+bv+cw\leq\sqrt{a u^2+bv^2+cw^2},\] donde $a,b,c,u,v,w$ son números reales positivos tales que $a+b+c=1$ (la forma usual de la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática se obtiene para los pesos $a=b=c=\frac{1}{3}$). Ahora aplicamos este resultado a los números $a=\frac{1}{6}$, $b=\frac{1}{3}$ y $c=\frac{1}{2}$ (que suman la unidad), $u=6\sqrt{x}$, $v=3\sqrt{2y+2}$ y $w=2\sqrt{3z+6}$. Sustituyendo estos valores tenemos que \[\sqrt{x}+\sqrt{2y+2}+\sqrt{3z+6}\leq\sqrt{\frac{36x}{6}+\frac{9(2y+2)}{3}+\frac{4(3z+6)}{2}}=\sqrt{6(x+y+z)+18}.\] Usando ahora que $x+y+z=3$ y simplificando, la desigualdad anterior queda \[\sqrt{x}+\sqrt{2y+2}+\sqrt{3z+6}\leq 6.\] Para ver que $6$ realmente es el máximo buscado y responder a la última pregunta del enunciado, vamos a ver que se alcanza la igualdad y en qué valores. La igualdad en la desigualdad de las medias con pesos se alcanza cuando los números son iguales, es decir, cuando $u=v=w$. Elevando al cuadrado, esto equivale a que $36x=18(y+1)=12(z+2)$. Teniendo en cuenta que $x+y+z=3$, es fácil despejar $x=y=z=1$. Como para $x=y=z=1$ se alcanza la igualdad, deducimos que sólo se alcanza para esta elección de las variables, terminando así la solución.

Nota. La desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática con pesos es equivalente a la desigualdad de Jensen (con pesos) aplicada a la función convexa $f(x)=x^2$, lo que da lugar a otra forma de enfocar esta misma solución.

Solución. Cambiando $n$ por $n+1$ obtenemos la igualdad $f(n+1)+f(n+2)=2n+3$. Si a esta le restamos la ecuación del enunciado, obtenemos que $f(n+2)=f(n)+2$ para todo entero $n$. De aquí se deduce fácilmente por inducción sobre $k$ que \[f(2k)=2k+f(0),\qquad f(2k+1)=2k+f(1).\] Por tanto, $a=f(0)$ y $b=f(1)$ determinan completamente a la función y verifican $a+b=1$ (haciendo $n=0$ en la ecuación funcional original). Si imponemos la otra condición del enunciado, tenemos que \begin{align*} 2015&=f(1)+f(2)+\ldots+f(63)\\ &=31a+2+4+\ldots+62+32b+2+4+\ldots+62\\ &=31a+32b+2(1+2+\ldots+31)=31a+32b+31\cdot 32=31a+32b+992. \end{align*} Por tanto, tenemos el sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\31a+32b=1023\end{array}\right.\] que se resuelve fácilmente dando la solución única $a=-991$ y $b=992$. Deducimos así que solo existe una función cumpliendo las condiciones dadas y está definida por \[f(n)=\begin{cases}n-991&\text{si }n\text{ par},\\n+991&\text{si }n\text{ impar}.\end{cases}\]

Solución. En el apartado (a), simplemente hay que ordenar las bolas de menor a mayor y luego hacer $n$ parejas de valores consecutivos. Que haya dos sumas iguales implica por tanto que hay cuatro valores $a\leq b\leq c\leq d$ tales que $a+b=c+d$. Esto nos dice que $d=a+b-c\leq a+b-b=a$, luego la anterior cadena de desigualdades nos da $a=b=c=d$.

Para el apartado (b), razonaremos por reducción al absurdo que hay $n$ o más valores distintos. Esto quiere decir que podemos tomar una sucesión estrictamente creciente de valores $x_1\lt x_2\lt\ldots\lt x_n$ y ordenar el resto de valores como $y_1\leq y_2\leq\ldots\leq y_n$. Por lo tanto, se cumple que \[x_1+y_1\lt x_2+y_2\lt\ldots\lt x_n+y_n,\] luego si emparejamos cada $x_k$ con el correspondiente $y_k$, ninguna pareja tendrá la misma suma, contradiciendo el enunciado del problema.

Nota. El apartado (b) nos da una estimación óptima. Por ejemplo, podríamos tomar $n-1$ bolas con los valores del $1$ al $n$ y las otras $n+1$ bolas todas iguales a $1$. No importa como emparejemos, siempre habrá dos parejas formadas únicamente por unos y por tanto tendrán la misma suma.

Solución. La ecuación se reescribe como \[2^{2x-1}-5x-3=2^{2x-1}+2^{x-1}-2^x-1,\] luego podemos simplificar para obtener \[2^{x-1}-2^x+5x+2=0\ \Leftrightarrow\ 2^{x-1}=5x+2.\] Para $x=1,2,3,4,5$, el miembro de la derecha es igual a $7,12,17,22,27$, que no son potencias de $2$, si bien para $x=6$ tenemos una solución ya que ambos miembros son iguales a $32$. Para $x\geq 7$, probaremos por inducción que $2^{x-1}\gt 5x+2$. El caso base es $x=7$ y tenemos que $2^{x-1}=64$ mientras que $5x+2=37$. Supuesto que la desigualdad $2^{x-1}\gt 5x+2$ es cierta para algún $x\geq 7$, queremos probar la desigualdad para $x+1$. Se tiene que \[2^x=2\cdot 2^{x-1}\stackrel{(\star)}{\gt}2\cdot(5x+2)=10x+4\gt 5x+5x+4\gt 5x+7,\] donde en $(\star)$ hemos usado la hipótesis de inducción.

Esto nos da la única solución $x=6$, que nos lleva a que \[n=2^{2\cdot 6-1}-5\cdot 6-3=2015.\]