Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se desea escribir $n\geq 3$ números reales diferentes alrededor de una circunferencia de modo que cada uno de ellos sea igual al producto de su vecino de la derecha por su vecino de la izquierda. Determinar todos los valores de $n$ para los cuales lo anterior es posible.

Una sucesión $\{a_n\}$ de números reales está definida por $a_0=1$, $a_1=2015$ y, para todo entero $n\geq 1$, como \[a_{n+1}=\frac{n-1}{n+1}a_n-\frac{n-2}{n^2+n}a_{n-1}.\] Calcular el valor de \[\frac{a_1}{a_2}-\frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_4}-\frac{a_4}{a_5}+\ldots+\frac{a_{2013}}{a_{2014}}-\frac{a_{2014}}{a_{2015}}.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB\lt CD$ y sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AD$ y $BC$. La circunferencia circunscrita del triángulo $PCD$ corta a la recta $AB$ en los puntos $Q$ y $R$. Sean $S$ y $T$ los puntos donde las tangentes desde $P$ a la circunferencia circunscrita de $ABCD$ tocan a dicha circunferencia.

1. Probar que $PQ=PR$.
2. Probar que $QRST$ es un cuadrilátero cíclico.

Anselmo y Bonifacio inician un juego donde alternadamente van sustituyendo el número escrito en la pizarra. En cada turno, el jugador debe sustituir el número escrito por su número de divisores o bien por la diferencia entre el número escrito y su número de divisores. Anselmo es el primero en jugar, y aquel jugador que escriba el $0$ gana. Si el número inicial es $1036$, determinar qué jugador tiene una estrategia ganadora y describir dicha estrategia.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AC=2AB$. Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo $\angle CAB$ con $BC$. Sea $F$ el punto de intersección de la paralela a $AB$ por $C$ con la perpendicular a $AD$ por $A$. Demostrar que $FD$ pasa por el punto medio de $AC$.

En una olimpiada de matemáticas participaron 39 alumnos. El examen consistió en 6 problemas y cada uno se calificó con 1 punto si estaba correcto o con 0 si estaba incorrecto. Para cualesquiera tres alumnos, hay a lo sumo un problema que no fue resuelto por ninguno de los tres. Si $B$ es la suma de los puntos que obtuvieron los 39 alumnos, encontrar el menor valor posible para $B$.