Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $D$ el pie de la altura trazada desde $C$. La bisectriz de $\angle ABC$ intersecta a $CD$ en $E$ y vuelve a intersectar al circuncírculo $\omega$ de $ADE$ en $F$. Si $\angle ADF=45^\circ$, probar que $CF$ es tangente a $\omega$.

Una ficha de dominó es de $2\times 1$ o $1\times 2$ cuadrados unitarios. Determina de cuántas maneras distintas se pueden acomodar exactamente $n^2$ fichas de dominó en un tablero de ajedrez de tamaño $2n\times 2n$ de forma que cualquier cuadrado de $2\times 2$ contiene al menos dos cuadrados unitarios sin cubrir que están en la misma fila o en la misma columna.

Sean $n$ y $m$ enteros mayores que $1$ y sean $a_1,a_2,\ldots,a_m$ enteros positivos menores o iguales que $n^m$. Demostrar que existen enteros positivos $b_1, b_2,\ldots, b_m$ menores o iguales que $n$, tales que \[\mathrm{mcd}(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_m+b_m)\lt n,\] donde $\mathrm{mcd}(x_1, x_2,\ldots, x_m)$ denota el máximo común divisor de $x_1, x_2,\ldots, x_m$.

Determinar si existe una sucesión infinita $\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ de enteros positivos que satisface la igualdad \[a_{n+2} = a_{n+1} + \sqrt{a_{n+1}+a_n}\] para todo entero positivo $n$.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos con $m\gt 1$. Anastasia divide el conjunto de enteros $\{1,2,\ldots,2m\}$ en $m$ parejas. Luego Boris escoge un entero de cada pareja y suma los enteros escogidos. Demostrar que Anastasia puede elegir las parejas de manera que Boris no pueda hacer que su suma sea igual a $n$.

Sea $H$ el ortocentro y $G$ el baricentro del triángulo acutángulo $ABC$, con $AB\neq AC$. La recta $AG$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $A$ y en $P$. Sea $P'$ el punto simétrico de $P$ respecto de la recta $BC$. Demostrar que $\angle CAB=60^\circ$ si y solo si $HG = GP'$.