Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $n$ un entero positivo impar y $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales no negativos. Demostrar que \[\min_{1\leq i\leq n}\{x_i^2+x_{i+1}^2\}\leq\max_{1\leq j\leq n}\{2x_jx_{j+1}\},\] donde $x_{n+1}=x_1$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y $X$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Sean $C_1$, $D_1$ y $M$ los puntos medios de los segmentos $CX$, $DX$ y $CD$, respectivamente. Las rectas $AD_1$ y $BC_1$ se intersecan en $Y$ y la recta $MY$ interseca a las diagonales $AC$ y $BD$ en dos puntos distintos, que llamamos respectivamente $E$ y $F$. Demostrar que la recta $XY$ es tangente a la circunferencia que pasa por $E$, $F$ y $X$.

Sea $m$ un entero positivo. Se considera un tablero de $4m\times 4m$ casillas cuadradas. Dos casillas diferentes están relacionadas si están en la misma fila o en la misma columna, pero se considera que ninguna casilla está relacionada con ella misma. Algunas casillas se colorean de azul de tal manera que cada casilla está relacionada con al menos dos casillas azules. Determinar el mínimo número de casillas azules.

Dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ del mismo radio se intersecan en dos puntos distintos $X_1$ y $X_2$. Se considera una circunferencia $\omega$ tangente exteriormente a $\omega_1$ en un punto $T_1$ y tangente interiormente a $\omega_2$ en un punto $T_2$. Demostrar que las rectas $X_1T_1$ y $X_2T_2$ se intersecan en un punto que pertenece a $\omega$.

Sean $k$ y $n$ enteros tales que $k\geq 2$ y $k\leq n\leq 2k-1$. Se ponen piezas rectangulares, cada una de tamaño $1\times k$ o $k\times 1$, en un tablero de $n\times n$ casillas cuadradas, de forma que cada pieza cubra exactamente $k$ casillas del tablero y que no haya dos piezas superpuestas. Se hace esto hasta que no se puedan colocar más piezas. Para cada $n$ y $k$ que cumplen las condiciones anteriores, determinar el mínimo número de piezas que puede contener dicho tablero.

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos $n$ tales que $n^4$ tiene un divisor en el conjunto $\{n^2+1,n^2+2,\ldots,n^2+2n\}$. Demostrar que hay infinitos elementos en $S$ de cada una de las formas $7m$, $7m+1$, $7m+2$, $7m+5$ y $7m+6$, pero $S$ no contiene elementos de la forma $7m+3$ y $7m+4$, siendo $m$ un entero.