Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En la figura se muestra una malla hexagonal formada por triangulitos equiláteros. Gabriel y Arnoldo toman turnos para jugar de la siguiente manera. En su turno, cada jugador colorea un segmento de recta, incluidos sus extremos, de acuerdo a las siguientes reglas:

• Los extremos del segmento deben coincidir con los vértices de algunos de los triangulitos.
• El segmento debe estar formado por uno o varios lados de algunos de los triangulitos.
• El segmento no puede tener nignún punto en común con ninguno de los segmentos coloreados anteriormente (incluidos los extremos).

Pierde el jugador que en su turno no pueda colorear ningún segmento. Si Gabriel juega primero, determinar qué jugador tiene una estrategia ganadora y describirla.

Una pareja $(a,b)$ de enteros positivos con $a\lt 391$ es pupusa si \[\mathrm{mcm}(a,b)\gt \mathrm{mcm}(a,391).\] Hallar el valor mínimo que toma $b$ entre las posibles parejas pupusa $(a,b)$.

Dado un triángulo $ABC$, sean $D$ el pie de la altura desde $A$ y $\ell$ la recta que pasa por los puntos medios de $AC$ y $BC$. Sea $E$ el simétrico del punto $D$ respecto a $\ell$. Demostrar que el circuncentro del triángulo $ABC$ está sobre la recta $AE$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $B$. Sean $B'$ el simétrico de $B$ con respecto a la recta $AC$ y $M$ el punto medio de $AC$. Se prolonga $BM$ más allá de $M$ hasta un punto $D$ de modo que $BD=AC$. Demostrar que $B'C$ es la bisectriz del ángulo $\angle MB'D$.

Susana y Brenda juegan a escribir polinomios, tomando turnos iniciando por Susana.

• En el turno de preparación (turno 0), Susana elige un entero positivo $n_0$ y escribe el polinomio $P_0(x) = n_0$.
• Luego, en el turno 1, Brenda elige un entero positivo $n_1$ distinto de $n_0$ y escribe uno de los dos polinomios $P_1(x) = n_1x-P_0(x)$ o bien $P_1(x) = n_1x + P_0(x)$.
• En general, en el turno $k$, la jugadora correspondiente elige un entero positivo $n_k$ distinto de $n_0, n_1,\ldots, n_{k-1}$ y escribe uno de los dos polinomios: \[P_k(x) = n_kx^k − P_{k−1}(x)\quad\text{o bien}\quad P_k(x) = n_kx^k+P_{k-1}(x).\]

Gana quien escriba un polinomio que tenga por lo menos una raíz entera. Determinar qué jugadora tiene una estrategia ganadora y describir dicha estrategia.

Sea $k$ un entero mayor que $1$. Inicialmente la rana Tita se encuentra situada sobre el punto $k$ de la recta numérica. En un movimiento, si Tita se encuentra sobre el punto $n$, entonces salta al punto $f(n)+g(n)$, donde $f(n)$ y $g(n)$ son el mayor y el menor número primo (ambos positivos) que dividen a $n$, respectivamente. Determinar todos los valores de $k$ para los cuales Tita puede visitar una cantidad infinita de puntos diferentes de la recta numérica.