Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo que cumple que $\angle DAB=\angle BCD=90^\circ$ y $\angle ABC\gt \angle CDA$. Sean $Q$ y $R$ puntos en los segmentos $BC$ y $CD$, respectivamente, tales que la recta $QR$ interseca las rectas $AB$ y $AD$ en los puntos $P$ y $S$, respectivamente. Se sabe que $PQ=RS$. Sea $M$ el punto medio de $BD$ y sea $N$ el punto medio de $QR$. Demostrar que los puntos $M$, $N$, $A$ y $C$ están en una misma circunferencia.

Encontrar el menor entero positivo $k$ para el cual existe una coloración del conjunto $\mathbb{Z}_{\gt 0}$ de los enteros positivos con $k$ colores y una función $f:\mathbb{Z}_{\gt 0}\to\mathbb{Z}_{\gt 0}$ que cumpla las siguientes dos propiedades:

• Para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$ del mismo color, $f(m+n)= f(m)+f(n)$.
• Existen enteros positivos $m$ y $n$ tales que $f(m+n)\neq f(m)+f(n)$.

Nota. En una coloración de $\mathbb{Z}_{\gt 0}$ con $k$ colores, cada entero se colorea con exactamente uno de los $k$ colores. En las propiedades anteriores, los enteros positivos $m$ y $n$ no son necesariamente diferentes.

Se consideran $2017$ rectas en el plano tales que no hay tres de ellas que pasen por el mismo punto. La hormiga Turbo se coloca en un punto de una recta (distinto de los puntos de intersección) y empieza a moverse sobre las rectas de la siguiente manera: se mueve en la recta en la que está hasta que llega al primer punto de intersección, ahí cambia de recta torciendo a la izquierda o a la derecha, alternando su elección en cada intersección a la que llega. Turbo solo puede cambiar de dirección en los puntos de intersección. ¿Puede existir un segmento de recta por el cual la hormiga viaje en ambos sentidos?

Sea $n\geq 1$ un entero y sean $t_1\lt t_2\lt\ldots\lt t_n$ enteros positivos. En un grupo de $t_n+1$ personas se juegan algunas partidas de ajedrez. Dos personas pueden jugar entre sí a lo más una vez. Demostrar que es posible que las siguientes dos condiciones se den al mismo tiempo:

• El número de partidas jugadas por cada persona es uno de los números $t_1,t_2,\ldots, t_n$.
• Para cada $i$ con $1\leq i\leq n$, hay al menos una persona que juega exactamente $t_i$ partidas de ajedrez.

Sea $n\geq 2$ un entero. Una $n$-upla $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ de enteros positivos no necesariamente distintos se dice que es costosa si existe un entero positivo $k$ tal que \[(a_1+a_2)(a_2+a_3)\cdots(a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1)=2^{2k−1}.\]

1. Encontrar todos los enteros $n\geq 2$ para los cuales existe una $n$-upla costosa.
2. Demostrar que para todo entero positivo impar $m$ existe un entero $n\geq 2$ tal que $m$ pertenece a una $n$-upla costosa.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo que no tiene dos lados con la misma longitud. Las reflexiones del baricentro $G$ y el circuncentro $O$ de $ABC$ con respecto a los lados $BC,CA,AB$ se denotan como $G_1,G_2,G_3$ y $O_1,O_2, O_3$, respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $G_1G_2C$, $G_1G_3B$, $G_2G_3A$, $O_1O_2C$, $O_1O_3B$, $O_2O_3A$ y $ABC$ tienen un punto en común.