Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tienen $2018$ tarjetas numeradas desde $1$ hasta $2018$. Los números de las tarjetas son visibles todo el tiempo. Tito y Pepe juegan tomando una tarjeta en cada turno hasta que se acaben, empezando por Tito. Cuando terminan de tomar todas las tarjetas, cada uno suma los números de sus tarjetas y aquel que obtenga como resultado un número par gana el juego. Determinar qué jugador tiene una estrategia ganadora y cuál es.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\omega$ de centro $O$. Sean $T$ el punto diametralmente opuesto a $C$ y $T'$ el punto simétrico de $T$ con respecto a la recta $AB$. La recta $BT'$ corta a $\omega$ en un segundo punto $R$. La recta perpendicular a $TC$ que pasa por $O$ corta a la recta $AC$ en $L$. Sea $N$ el punto de intersección de las rectas $TR$ y $AC$. Probar que $CN = 2AL$.

Sean $x$ e $y$ números reales tales que los tres números \[x-y,\quad x^2-y^2,\quad x^3-y^3\] son positivos y números primos. Demostrar que $x-y=3$.

Determinar todas las ternas $(p,q,r)$ de enteros positivos, donde $p$ y $q$ son números primos, tales que: \[\frac{r^2-5q^2}{p^2-1}=2.\]

Sea $n$ un número entero tal que $1\lt n\lt 2018$. Para cada $i=1,2,\ldots,n$, se define el polinomio \[S_i(x)=x^2-2018x+\ell_i,\] donde $\ell_1,\ell_2,\ldots,\ell_n$ son enteros positivos distintos. Si el polinomio $S_1(x)+S_2(x)+\ldots+S_n(x)$ tiene al menos una raíz entera, demostrar que al menos uno de los números $\ell_1,\ell_2,\ldots,\ell_n$ es mayor o igual que $2018$.

En La Habana se realiza un baile con $2018$ parejas. Para el baile, se dispone de una circunferencia donde inicialmente se marcan 2018 puntos distintos, etiquetados con los números $0,1,\ldots,2017$. Las parejas son ubicadas sobre los puntos marcados, una en cada punto. Para $i\geq 1$, se define $s_i$ como el resto de dividir $i$ entre $2018$ y $r_i$ como el resto de dividir $2i$ entre $2018$. El baile comienza en el minuto 0. En el $i$-ésimo minuto después de iniciado el baile ($i\geq 1$), la pareja ubicada en el punto $s_i$ (si la hay) se mueve al punto $r_i$, la pareja que ocupaba el punto $r_i$ (si la hay) se retira, y el baile continúa con las parejas restantes. El baile termina después de $2018^2$ minutos. Determine cuántas parejas quedarán al terminar el baile.

Nota. Si en el minuto $i$, $s_i = r_i$, la pareja que está en $s_i$ (si la hay) se mantiene en su lugar y no sale del baile.