Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

1. Demostrar que todo entero $x\geq 2$ puede ser escrito como el producto de uno o más elementos de $A$, no necesariamente distintos.
2. Para todo entero $x\geq 2$, sea $f(x)$ el menor entero tal que $x$ puede ser escrito como el producto de $f(x)$ elementos de A, no necesariamente distintos. Demostrar que existen infinitos pares $(x,y)$ de enteros con $x\geq 2$ e $y\geq 2$, tales que \[f(xy)\lt f(x) + f(y).\]

• El Jurado escoge el orden inicial de las concursantes en la fila.
• Cada minuto, el Jurado escoge un entero $1\leq i\leq n$.
  • Si la concursante $C_i$ tiene al menos otras $i$ concursantes delante de ella, le paga un florín al Jurado y se mueve exactamente $i$ posiciones adelante en la fila.
  • Si la concursante $C_i$ tiene menos de $i$ concursantes delante de ella, el restaurante se abre y el proceso termina.

1. Demostrar que el proceso no puede continuar indefinidamente, sin importar las elecciones del Jurado.
2. Determinar para cada $n$ el máximo número de florines que el Jurado puede recolectar escogiendo el orden inicial y la secuencia de movimientos astutamente.

Demostrar que existe una configuración balanceada para cada $n\geq 3$ y hallar el mínimo número de dominós necesarios para una tal configuración.

1. Demostrar que para todo número real $t$ tal que $0\lt t\lt \frac{1}{2}$ existe un entero positivo $n$ con la siguiente propiedad: para todo conjunto $S$ de $n$ enteros positivos existen dos elementos distintos $x$ e $y$ de $S$, y un entero no negativo $m\geq 0$, tales que \[|x-my|\leq ty.\]
2. Determinar si para todo número real $t$ tal que $0\lt t\lt \frac{1}{2}$ existe un conjunto infinito $S$ de enteros positivos tal que \[|x-my|\gt ty\] para todo par de elementos distintos $x$ e $y$ de $S$ y para todo entero positivo $m\gt 0$.