Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $N=\overline{abcd}$ un entero positivo de cuatro cifras. Llamamos plátano power al menor entero positivo $p(N)=\overline{\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_k}$ que puede insertarse entre los dos números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal forma que el nuevo número $\overline{ab\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_kcd}$ sea divisible por $N$. Determinar el valor de $p(2025)$.

Nota: la línea superior indica que los elementos que aparecen debajo de ella son los dígitos en el sistema decimal del número así representado.

Se tiene un polígono regular $P$ con $2019$ vértices y, en cada vértice, hay una moneda. Dos jugadores Azul y Rojo van a jugar alternadamente, empezando por Azul, de la siguiente manera: primero Azul elige un triángulo con vértices en $P$ y pinta el interior del triángulo de azul, después Rojo elige un triángulo con vértices en $P$ y pinta el interior del triángulo de rojo, de tal forma que los triángulos formados en cada jugada no se intersecan en su interior con ninguno de los anteriores. Continúan así hasta que ya no puedan elegir más triángulos para pintarlos. Después, la moneda de cada vértice la gana el jugador que tenga más triángulos de su color incidiendo en ese vértice (si hay la misma cantidad de triángulos de los dos colores incidentes a ese vértice, entonces ninguno de los dos gana esa moneda, y la moneda se anula). Gana el jugador que logra más monedas. Encontrar una estrategia ganadora para alguno de los dos jugadores.

Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circuncírculo. Sean $D$ el pie de la altura trazada desde $A$, $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, respectivamente, y $Q$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto a $A$. Sea $E$ el punto medio de $DQ$. Probar que las perpendiculares a $EM$ y $EN$ que pasan por $M$ y $N$ respectivamente, se cortan en $AD$.

Sean $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circunferencia circunscrita y $\ell$ la tangente a $\Gamma$ por el punto $A$. Las alturas desde $B$ y $C$ se extienden y cortan a $\ell$ en $D$ y $E$, respectivamente. Las líneas $DC$ y $EB$ cortan de nuevo a $\Gamma$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demostrar que el triángulo $APQ$ es isósceles.

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$. Demostrar que \[a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ac}+c\sqrt{c^2+6ab}\leq\frac{3\sqrt{2}}{4}.\]

Un triminó es una ficha rectangular de dimensiones $1\times 3$. ¿Es posible cubrir un tablero cuadrado de $8\times 8$ con 21 triminós, de modo que quede exactamente un cuadradito de $1\times 1$ sin cubrir? En caso afirmativo, determine todas las posiciones posibles en el tablero del cuadradito que queda sin cubrir.