Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar todas las ternas $(a,b,c)$ de números reales tales que $ab + bc + ca = 1$ y \[a^2b+c=b^2c+a=c^2a+b.\]

Sea $n$ un entero positivo. En un tablero de $2n\times 2n$ casillas se colocan dominós de manera que cada casilla del tablero sea adyacente a exactamente una casilla cubierta por un dominó. Para cada $n$, determinar la mayor cantidad de dominós que se pueden poner de esa manera.

Nota. Un dominó es una ficha de $1\times 2$ o de $2\times 1$ cuadrados unitarios. Los dominós se colocan en el tablero de manera que cada dominó cubre exactamente dos casillas del tablero y los dominós no se superponen. Decimos que dos casillas son adyacentes si son diferentes y tienen un lado en común.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle CAB\gt \angle ABC$ y sea $I$ su incentro. Sea $D$ el punto en el segmento $BC$ tal que $\angle CAD = \angle ABC$. Sea $\omega$ la circunferencia que pasa por $I$ y es tangente a la recta $AC$ en el punto $A$. Sea $X$ el segundo punto de intersección de $\omega$ con la circunferencia circunscrita de $ABC$. Muestre que las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle CXB$ se intersecan en un punto de la recta $BC$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. La circunferencia que pasa por $B$ y es tangente a la recta $AI$ en el punto $I$ corta al lado $AB$ por segunda vez en $P$. La circunferencia que pasa por $C$ y es tangente a la recta $AI$ en el punto $I$ corta al lado $AC$ por segunda vez en $Q$. Probar que $PQ$ es tangente a la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$.

Sea $n\geq 2$ un número entero y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ enteros positivos. Demostrar que existen enteros positivos $b_1, b_2,\ldots,b_n$ que cumplen las siguientes tres condiciones:

• $a_i\leq b_i$ para todo $1\leq i\leq n$,
• los restos de $b_1, b_2,\ldots, b_n$ al dividirlos por $n$ son todos diferentes y
• $\displaystyle b_1+b_2+\ldots+b_n\leq \left(\frac{n-1}{2}+\left\lfloor\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\right\rfloor\right)$.


Nota. Denotamos por $\lfloor x\rfloor$ a la parte entera del número real $x$, es decir, al mayor entero que es menor o igual que $x$.

Alina traza $2019$ cuerdas en una circunferencia. Los puntos extremos de estas son todos diferentes. Un punto se considera marcado si es de uno de los siguientes tipos:

• uno de los 4038 puntos extremos de las cuerdas,
• un punto de intersección de al menos dos de las cuerdas.

Alina etiqueta con un número cada punto marcado. De los $4038$ puntos del primer tipo, $2019$ son etiquetados con un $0$ y los otros $2019$ puntos con un $1$. Los puntos del segundo tipo se etiquetan con un entero arbitrario, no necesariamente positivo.

En cada cuerda, Alina considera todos los segmentos entre puntos marcados consecutivos (si una cuerda tiene $k$ puntos marcados, entonces tiene $k-1$ de estos segmentos). Sobre cada uno de estos segmentos, Alina escribe dos números: en amarillo escribe la suma de las etiquetas de los puntos extremos del segmento, mientras que en azul escribe el valor absoluto de su diferencia.

Alina se da cuenta que los $N+1$ números amarillos son exactamente los números $0,1,\ldots, N$. Demostrar que al menos uno de los números azules es múltiplo de tres.