Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un entero positivo de cuatro dígitos se dice virtual si es de la forma $\overline{abab}$, donde $a$ y $b$ son dígitos y $a\neq0$. Por ejemplo, $2020$, $2121$ y $2222$ son virtuales, pero $2002$ y $0202$ no lo son. Encontrar todos los números virtuales de la forma $n^2+1$ para algún entero positivo $n$.

Se tienen monedas idénticas distribuidas en varias pilas con una o más monedas en cada pila. Una operación consiste en tomar dos pilas con una cantidad total de monedas par entre ellas, y repartir sus monedas entre las dos pilas de modo que ambas terminen con la misma cantidad. Una distribución es nivelable si es posible, mediante cero o más operaciones, lograr que todas las pilas queden con el mismo número de monedas. Determinar todos los enteros positivos $n$ tales que, para todo entero positivo $k$, cualquier distribución de $nk$ monedas en $n$ pilas es nivelable.

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ tales que, para cualesquiera enteros $a,b,c\in\mathbb{Z}$ con $a+b+c=0$, se tiene que \[f(a)+f(b)+f(c)=a^2+b^2+c^2.\]

Sea $ABC$ un triángulo con $BC\gt AC$. El círculo con centro en $C$ y radio $AC$ corta al segmento $BC$ en $D$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y sea $\Gamma$ el círculo que pasa por $I$ y es tangente a la recta $CA$ en $A$. La recta $AB$ y $\Gamma$ se cortan en $F$, con $F\neq A$. Demostrar que $BF = BD$.

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales no negativos. Dado un entero positivo $k$, sean $x_1,x_2,\ldots,x_k$ números reales positivos tales que $x_1x_2\cdots x_k=1$. Demostrar que \[P(x_1)+P(x_2)+\ldots+P(x_k)\geq k P(1).\]

Se dice que un entero positivo $N$ es interoceánico si, al descomponer en factores primos $N=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}$, se cumple que \[x_1+x_2+\ldots+x_k=p_1+p_2+\ldots+p_k.\] Encontrar todos los números interoceánicos menores que $2020$.