Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a_0, a_1, a_2,\ldots, a_{3030}$ enteros positivos tales que \[2a_{n+2}=a_{n+1}+4a_n,\qquad\text{para todo }n=0,1,2,\ldots,3028.\] Demostrar que al menos uno de los enteros $a_0, a_1, a_2, . . . , a_{3030}$ es divisible por $2^{2020}$.

Encontrar todas las listas $(x_1, x_2,\ldots,x_{2020})$ de números reales no negativos que satisfacen las siguientes tres condiciones:

1. $x1\leq x2\leq\ldots\leq x_{2020}$,
2. $x_{2020}\leq x_1+1$,
3. existe una permutación $(y_1, y_2,\ldots, y_{2020})$ de $(x_1, x_2,\ldots,x_{2020})$ tal que \[\sum_{i=1}^{2020}((x_i+1)(y_i+1))^2=8\sum_{i=1}^{2020}x_i^3.\]

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $\angle A=\angle C = \angle E$ y $\angle B = \angle D = \angle F$. Además, las bisectrices interiores de los ángulos $\angle A$, $\angle C$ y $\angle E$ son concurrentes. Demostrar que las bisectrices interiores de los ángulos $\angle B$, $\angle D$ y $\angle F$ también son concurrentes.

Una permutación de los enteros $1,2,\ldots,m$ se dice que es fresca si no existe ningún entero positivo $k\lt m$ tal que los primeros $k$ elementos de la permutación son los números $1,2,\ldots,k$ en algún orden. Sea $f_m$ el número de permutaciones frescas de los enteros $1,2,\ldots,m$. Demostrar que $f_n\geq nf_{n-1}$ para todo $n\geq 3$.

Por ejemplo, para $m=4$, la permutación $(3,1,4,2)$ es fresca, mientras que la permutación $(2,3,1,4)$ no lo es.

Consideremos el triángulo $ABC$ con $\angle BCA\gt 90^\circ$. Sea $R$ el radio del circuncírculo $\Gamma$ de $ABC$. En el segmento $AB$ existe un punto $P$ con $PB=PC$ y tal que la longitud de $PA$ es igual a $R$. La mediatriz de $PB$ corta a $\Gamma$ en los puntos $D$ y $E$. Demostrar que $P$ es el incentro del triángulo $CDE$.

Sea $m\gt 1$ un entero. Se define una sucesión $\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ como $a_1=a_2=1$, $a_3=4$ y, para todo $n\geq 4$, \[a_n = m(a_{n−1} + a_{n−2}) − a_{n−3}.\] Determinar todos los enteros $m$ para los que todos los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.