Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que el número es $n=1000a+100b+10c+d$, siendo $a$ la cifra de las unidades de millar, $b$ la de las centenas, $c$ la de las decenas y $d$ la de las unidades. Los números que se obtienen al insertar un cero son los cuatro siguientes: \begin{align*} N_1&=10000a+100b+10c+d\\ N_2&=10000a+1000b+10c+d\\ N_3&=10000a+1000b+100c+d\\ N_4&=10000a+1000b+100c+10d. \end{align*} Como son todo múltiplos de $7$, $N_4-N_3=9d$ también lo es, luego tiene que ser $d=7$ o bien $d=0$. De la misma forma, $N_3-N_2=90c$ es múltiplo de $7$, luego $c=7$ o $c=0$. También $N_2-N_1=900b$ nos da que $b=0$ o $b=7$. Finalmente, $10N_1-N_4=90000a$ nos dice que $a=0$ o $a=7$, pero no puede ser $a=0$ porque entonces el número no sería de cuatro cifras. Nos quedan pues los siguientes posibles valores de $n$: \begin{align*} 7000&&7007&&7070&&7077\\ 7700&&7707&&7770&&7777. \end{align*} Como todos ellos verifican claramente la propiedad del enunciado, deducimos que estas son las únicas soluciones.

Solución. Vamos a pensar que $m$ está fijo, de forma que hay que decidir para qué valores de $n$ se puede conseguir la coloración que nos piden (en función de $m$). Vamos a demostrar que la respuesta es $n\geq m$ para todo $m$ y también $n=m$ cuando $m$ es par.

• Comenzamos observando que no puede ser $n\lt m$ ya que entonces hay $m$ filas y cada una tiene entre $0$ y $n-1\lt m-1$ filas coloreadas; por el principio del palomar, debería haber dos filas con el mismo número de casillas coloreadas.
• Consideremos ahora el caso $n=m$, en el que tenemos que el número de casillas coloreadas en las distintas filas debe ser $0,1,2,\ldots,m-1$ en algún orden, luego el número total de casillas coloreadas es $0+1+2+\ldots+(m-1)=\frac{(m-1)m}{2}$. Como cada columna tiene el mismo número de casillas coloreadas, este número debe ser $\frac{m-1}{2}$, que solo es entero si $m$ es impar. Deducimos así que la coloración es imposible si $n=m$ es impar. El caso par, por el contrario, si se puede colorear: podemos dejar la primera fila vacía, en la segunda pintar la casilla de más a la izquierda, en la tercera las $m-1$ casillas de más a la derecha, en la cuarta las dos casillas de más a la derecha, en la quinta las $m-2$ de más a la derecha, y así sucesivamente. En la figura superior vemos esta coloración para $(m,n)=(9,9)$.
• Vamos a ver ahora que en el caso $n\gt m$ la coloración siempre es posible. Si $m$ es impar, basta seguir la estrategia descrita en el párrafo anterior (la diferencia es el número de casillas pintadas en cada fila no recorrerá todos los valores entre $0$ y $m-1$). Si $m$ es par, entonces podemos hacer lo mismo eliminando la primera fila en la que no estaba pintada ninguna casilla. En la figura central vemos esta coloraciones para $(m,n)=(7,10)$ y en la inferior para $(m,n)=(6,10)$ a modo de ejemplo.

Solución. Al terminar el quinto día, se han realizado $20$ de las $28$ partidas del torneo. Vamos a representar a los maestros como los vértices de un octógono regular y vamos a unir los que aún no se han enfrentado por un segmento (una diagonal o un lado del octógono). De cada vértice salen exactamente dos segmentos, luego si seguimos las líneas poligonales que así se forman tendremos una o varias poligonales cerradas de al menos tres vértices y que usan los ocho vértices. En realidad, no puede haber polígonos de $3$ lados ya que eso querría decir que en los días 6 y 7 deben enfrentarse 3 maestros entre sí (esto es absurdo ya que uno forzosamente debería descansar uno de los días mientras juegan los otros dos). Por tanto, las poligonales tienen que tener 4 u 8 vértices cada una. Distingamos los dos casos:

• Si una de las poligonales tiene vértices $M_1,M_2,M_3,M_4$ y la otra $M_5,M_6,M_7,M_8$ (en este orden), entonces es que los maestros pares $M_2,M_4,M_6,M_8$ (y también los impares $M_1,M_3,M_5,M_7$) se han enfrentado todos con todos en los primeros cinco días.
• Si hay sólo una poligonal de vértices $M_1,M_2,\ldots,M_8$ (en este orden), también ocurre que los pares (y los impares) se han enfrentado todos con todos en los primeros cinco días.