Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una terna ordenada de números primos $(p,q,r)$ es parcera si cumple que $p$ divide a $q^2-4$, $q$ divide a $r^2-4$ y $r$ divide a $p^2-4$. Encontrar todas las triplas parceras.

Sean $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ un punto sobre $AB$ tal que $CD$ es paralela a la recta tangente a $\Gamma$ en $A$. Sean $E$ la intersección de $CD$ con $\Gamma$ distinta de $C$ y $F$ la intersección de $BC$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ADC$ distinta de $C$. Finalmente, sea $G$ la intersección de la recta $AB$ y la bisectriz interior del ángulo $\angle DCF$. Demostrar que $E,G,F,C$ están sobre una misma circunferencia.

En un tablero de $2021\times 2021$ casillas, coloreamos algunas casillas de negro de tal forma que si ponemos un ratón en el centro de cualquier casilla del tablero, este puede moverse en línea recta en alguna dirección (arriba, abajo, izquierda o derecha a lo largo de las columnas o filas) y salir del tablero sin pisar ninguna casilla negra (diferente de la inicial si esta es negra). ¿Cuál es la máxima cantidad de casillas que pueden ser coloreadas de negro?

En una reunión hay $2021$ personas. Se sabe que hay una persona que no tiene ningún amigo y otra persona que tiene un solo amigo. Además, se cumple que, dadas 4 personas cualesquiera, al menos un par de ellas son amigas. Demostrar que en la reunión hay 2018 personas tales que todos son amigos entre sí.

Nota. Si $A$ es amigo de $B$, entonces $B$ es amigo de $A$.

Sea $n\geq 3$ un número entero y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos tales que $m$ es el menor y $M$ es el mayor de ellos. Se sabe que para cualesquiera tres enteros distintos $1\leq i,j,k\leq n$, si $a_i\leq a_j\leq a_k$, entonces $a_ia_k\leq a_j^2$. Demostrar que \[a_1a_2\cdots a_n\geq m^2M^{n-2}\] y determinar cuándo se cumple la igualdad.

Sean $ABC$ un triángulo con $AB\lt AC$ y $M$ el punto medio de $AC$. Se escoge un punto $P$ sobre el segmento $BC$ (distinto de $B$) de tal forma que $AB=AP$. Sean $D$ la intersección de $AC$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ diferente de $A$ y $E$ la intersección de $PM$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ diferente de $P$. Sea $K$ el corte entre las rectas $AP$ y $DE$. Si $F$ es un punto sobre $BC$ (distinto de $P$) tal que $KP=KF$, demostrar que $C,D,E,F$ están en una misma circunferencia.