Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

El número $2021$ es fantabuloso. Si para algún entero positivo $m$, alguno de los elementos del conjunto ${m,2m+1,3m}$ es fantabuloso, entonces todos los elementos de dicho conjunto son fantabulosos. ¿Esto implica que el número $2021^2021$ es fantabuloso?

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ tales que la ecuación \[f(x\,f(x)+y)=f(y)+x^2\] se cumple para todos los números racionales $x$ e $y$.

Sea $ABC$ un triángulo con ángulo obtuso en $A$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de la bisectriz exterior del ángulo $\angle BAC$ con las alturas del triángulo $ABC$ desde $B$ y $C$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ puntos en los segmentos $EC$ y $FB$, respectivamente, tales que $\angle EMA = \angle BCA$ y $\angle ANF = \angle ABC$. Demostrar que los puntos $E$, $F$, $M$ y $N$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sea $D$ un punto arbitrario en el lado $BC$. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $BI$ interseca a $CI$ en el punto $E$. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $CI$ interseca a $BI$ en el punto $F$. Demostrar que el punto simétrico de $A$ respecto de la recta $EF$ está en la recta $BC$.

Un plano tiene un punto especial $O$ llamado origen. Sea $P$ un conjunto de $2021$ puntos en el plano que cumple las siguientes dos condiciones:

• no hay tres puntos de $P$ sobre una misma recta,
• no hay dos puntos de $P$ sobre una misma recta que pasa por el origen.

Se dice que un triángulo con vértices en $P$ es gordo si $O$ es un punto interior de dicho triángulo. Encontrar la mayor cantidad de triángulos gordos que puede haber.

Determinar si existe un entero no negativo $a$ para el cual la ecuación \[\left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor=n^2+a\] tiene más de un millón de soluciones diferentes $(m,n)$ con $m$ y $n$ enteros positivos.

Nota. La expresión $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera del número real $x$.