Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tiene un montón con 2022 piedras. Ana y Beto juegan por turnos al siguiente juego, comenzando por Ana: en cada turno, si hay $n$ piedras en el montón, se pueden retirar $S(n)$ piedras o bien $n-S(n)$ piedras, donde $S(n)$ denota la suma de los dígitos del número $n$. La persona que retire la última piedra gana. Determinar cuál de las dos personas tiene una estrategia ganadora y describir dicha estrategia.

Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Fabián se encuentran en un círculo, ubicados en ese orden, y cada una de estas personas tiene un papel con un número real escrito en él. Llamaremos $a,b,c,d,e,f$ a estos números, siendo cada letra la inicial de la persona que lo tiene. Al final de cada minuto, todas reemplazan simultáneamente el número de su papel por la suma de tres números: el que había al principio del minuto en su papel y los que había en los papeles de la persona de su derecha y de la de su izquierda. Al final del minuto $2022$ se han hecho $2022$ reemplazos y cada persona tiene escrito en su papel su número inicial. Determinar todos los posibles valores de $abc+def$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$. Sea $D$ la intersección de las rectas $AO$ y $BH$. Sea $P$ el punto del segmento $AB$ tal que $PH=PD$. Demostrar que los puntos $B,D,O,P$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un rectángulo y sean $S_1,S_2,S_3,S_4$ cuatro circunferencias dentro del rectángulo tales que $S_k$ y $S_{k+1}$ son tangentes externamente entre sí y ambas son tangentes al lado $A_kA_{k+1}$ para $k=1,2,3,4$, donde $A_5=A_1$ y $S_5=S_1$. Demostrar que $A_1A_2A_3A_4$ es un cuadrado.

Esteban el alquimista tiene 8088 piezas de cobre, 6066 piezas de bronce, 4044 piezas de plata y 2022 piezas de oro. Puede tomar dos piezas de metales distintos y usar un martillo mágico para convertirlas en dos piezas de metales distintos a los que tomó y distintos entre sí. Determine el mayor número de piezas de oro que puede obtener Esteban después de haber usado el martillo mágico un número finito de veces.

Nota. Por ejemplo, si Esteban toma una pieza de cobre y una de bronce, entonces las convierte en una pieza de plata y una de oro.

Un entero positivo $n$ es inverosímil si existen $n$ enteros no necesariamente distintos tales que su suma y su producto sean iguales a $n$. ¿Cuántos enteros positivos menores o iguales a $2022$ son inverosímiles?